Функциональный анализ

функция становится точкой

Классический анализ оставил три неразрешимые в своих рамках задачи — колебания (Штурм — Лиувилль), минимизация функционалов (крах принципа Дирихле) и интегральные уравнения (Фредгольм). Ответом стал переворот «функция = точка» (Пиза, Париж, Гёттинген, 1887–1906), аксиоматизация во Львове (Банах, 1920–1932), неожиданная встреча с квантовой механикой (Гёттинген — Принстон) и московская линия Гельфанда — до C*-алгебр. Дисциплина, в которой анализ смотрит на себя со стороны.

Открыть на карте

1

Париж 1782
Лежандр: многочлены из притяжения сфероида
Раскладывая ньютоновский потенциал, Лежандр получает семейство многочленов — и не замечает, что они ортогональны. Через семьдесят лет выяснится, что все известные семейства ортогональных многочленов устроены одинаково: физическая задача задаёт вес, вес задаёт систему.
2

Париж 1799, напечатано в 1806
Парсеваль: энергия не зависит от системы координат
Формула, связывающая интеграл от квадрата функции с суммой квадратов коэффициентов, доказана за восемь лет до мемуара Фурье — мимоходом, без всякой строгости, человеком, опубликовавшим за всю жизнь пять работ.
3

Кёнигсберг 1828
Бессель: сколько теряет отрезанный ряд
Астроном, считавший возмущения планет, доказывает: сумма квадратов коэффициентов не превосходит квадрата нормы, а коэффициенты Фурье — наилучшие из возможных. Равенство достигается тогда и только тогда, когда система полна.
4

Париж 1836–1837
Штурм и Лиувилль: первый «спектр»
Колебания неоднородной струны: решения существуют лишь при избранных значениях параметра — собственных. Явление, которому Гильберт через семьдесят лет даст имя «спектр», — за девяносто лет до того, как выяснится, что это и есть спектры атомов.
5

Пиза 1887
Вольтерра: функции от линий
Первые систематические «функции, зависящие от функций»: функционал и его вариация. Термин закрепит Адамар, а имя дисциплине даст его ученик Поль Леви.
6

Стокгольм 1900–1903
Фредгольм: линейная алгебра переживает переход к бесконечности
Интегральное уравнение — это система линейных уравнений, у которой неизвестных континуум. Определитель, формулы Крамера и альтернатива «либо единственное решение, либо нетривиальное ядро» переносятся туда целиком. Гильберт, услышав об этом на семинаре, отложил свои планы на шесть лет.
7

Гёттинген 1904–1910
Гильберт: бесконечномерное пространство и спектр
Занимаясь интегральными уравнениями, Гильберт приходит к пространству последовательностей с суммируемым квадратом, к ортогональным базисам и к спектральной теореме. Двадцать лет спустя выяснится, что он построил математический аппарат квантовой механики.
8

Париж 1906
Фреше: пространство без чисел
Общая рамка: «функция = точка» перестаёт быть метафорой

Морис Фреше в диссертации замечает, что для разговора о сходимости не нужны ни числа, ни функции — достаточно расстояния. Так появляется метрическое пространство, без которого не существует ни банаховых пространств, ни всей современной топологии.
9

Брно 1907; публикация — Париж, Comptes Rendus
Рисс и Фишер: долг Фурье выплачен
Пространство функций с интегрируемым квадратом полно, а тригонометрическая система в нём — базис. Значит, утверждение Фурье 1807 года верно — при правильном понимании слов «функция», «интеграл» и «сходится». Ровно сто лет.
10

Гёттинген 1907–1908; Грам — Копенгаген, 1883
Грам и Шмидт: из любого набора — ортогональный
Процесс ортогонализации отвечает на вопрос, который висел над всей линией: ортогональная система есть всегда. Отсюда следует, что сепарабельное гильбертово пространство ровно одно — и что весь зоопарк ортогональных многочленов получается из степеней с разными весами.
11

Сегед система — Гёттинген, 1910; мера — 1933
Хаар: простейший базис — и мера для пятой проблемы
Система из ступенек: первый ортонормированный базис, у которого коэффициент говорит не обо всей функции, а о месте. Это вейвлет за семьдесят лет до вейвлетов. Двадцать три года спустя тот же человек строит меру на группе, из которой фон Нейман получает пятую проблему Гильберта для компактных групп.
12

Вена 1912–1927
Вена: теорема четырёх авторов
Хелли доказывает продолжение функционала (1912), Хан — общий случай (1927), Банах — ещё общее (1929). У главной теоремы дисциплины четыре автора в трёх городах, а имя носят двое.
13

Львов 1920–1932
Львов: кафе «Шкоцка» и банаховы пространства
Аксиомы, «три кита» и кафе «Шкоцка»

Диссертация Банаха и «Théorie des opérations linéaires»: анализ, где точка пространства — сама функция. Задачи записывались в тетрадь кафе «Шкоцка»; за одну из них был обещан живой гусь.
14

Гёттинген 1927–1932
Гильбертово пространство встречает квантовую механику
Фон Нейман осознаёт: матричная механика Гейзенберга и волновая Шрёдингера — одна теория самосопряжённых операторов. Физика потребовала готовый раздел математики через 20 лет после его создания.
15

Тбилиси 1933
Мусхелишвили: комплексные методы в теории упругости
Сингулярные интегральные уравнения и краевые задачи Римана — Гильберта на службе у инженеров. Книга переводится и переиздаётся до сих пор, а рядом вырастает первая математическая школа Закавказья.
16

Москва 1939–1943
Гельфанд: банаховы алгебры и C*-алгебры
Теорема Винера доказывается в одну страницу, а теорема Гельфанда — Наймарка (1943) стыкует операторные алгебры с теорией представлений. Семинар Гельфанда проживёт полвека.
17

Москва 1935–1936
Обобщённые решения Соболева
Обобщённые решения: первый шаг

Сергей Соболев вводит обобщённые решения уравнений и пространства, названные его именем: производная может существовать «в среднем», даже когда её нет в точке.
18

Одесса 1940
Крейн и Мильман: крайние точки
Выпуклое компактное множество — замкнутая выпуклая оболочка своих крайних точек. Теорема всплывает везде: от линейного программирования, где оптимум сидит в вершине, до квантовой теории, где чистые состояния и есть крайние точки.
19

Нанси ноябрь 1944 — 1950
Теория распределений: дельта-функция узаконена
«Функционал вместо функции» — до конца

Лоран Шварц оформляет теорию распределений: дельта-функция Дирака, которой физики пользовались с 1920-х, становится строгим объектом. Филдсовская медаль 1950 года.
20

Сан-Паулу 1953
Гротендик в Сан-Паулу: непрочитанное «Résumé»
Тензорные произведения банаховых пространств и константа Гротендика — в малотиражном бразильском журнале. Пятнадцать лет непрочитано; потом породило целую индустрию.
21

Воронеж 1956
Красносельский: топология против нелинейных уравнений
Неподвижные точки и вращение векторных полей становятся рабочим инструментом нелинейного анализа. Вокруг — воронежские зимние математические школы, куда ездила учиться половина страны.
22

Дубна 1956
Боголюбов: теорема об острие клина
Из требований причинности выводятся дисперсионные соотношения — мост от функционального анализа к математической физике. Лаборатория теоретической физики в Дубне основана в том же году.
23

Санкт-Петербург Ленинград, 1958–1969
Ладыженская: уравнения Навье — Стокса
Двумерный случай закрыт полностью — существование, единственность, гладкость; трёхмерный остаётся задачей тысячелетия. Рядом теория Ладыженской и Уральцевой, закрывшая девятнадцатую проблему Гильберта вместе с Де Джорджи и Нэшем.
24

Иерусалим 1961
Дворецкий: почти круглые сечения есть у всякого тела
У всякого выпуклого тела достаточно большой размерности найдутся сечения, почти неотличимые от шара, — какую размерность ни закажи. Тела, «нигде не круглого», не бывает; отсюда выросла асимптотическая геометрия.
25

Москва 1963
Тихонов: регуляризация некорректных задач
Как решать задачу, у которой решение не единственно и неустойчиво. Сегодня это L2-регуляризация в каждом курсе машинного обучения: гребневая регрессия так и называется — регуляризация Тихонова.
26

Стокгольм 1972–1973
Гусь для Энфло
Энфло решает проблему аппроксимации и проблему базиса, стоявшую с 1932 года. Обещанный во Львове живой гусь вручён в Варшаве — через 36 лет после записи задачи в «Шкоцкой книге».
27

Санкт-Петербург Ленинград, 1974
Цирельсон: пространство, определённое через себя
Двадцатичетырёхлетний ленинградский математик строит банахово пространство, не содержащее ни одного классического, — задав норму рекуррентно, через неё же саму. С этого начинается вся «экзотическая» теория.
28

Мюррей-Хилл (Bell Labs) 1988
Добеши: всплеск, у которого есть и гладкость, и место
Фурье знает частоту, но не знает места; Хаар знает место, но не бывает гладким. Добеши строит ортонормированные базисы, у которых есть и то и другое, — ценой того, что записать их формулой нельзя.