Гусь для Энфло

Задача из тетради в кафе

В кафе «Шкоцка» львовские математики записывали задачи в общую тетрадь, назначая за решение призы. Задача № 153, записанная Станиславом Мазуром в ноябре 1936 года, стоила живого гуся.

Спрашивалось следующее.

Базис Шаудера в банаховом пространстве — последовательность $(e_{n})$ такая, что всякий элемент единственным образом разлагается в сходящийся по норме ряд

$$x=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(x)\,e_{n}.$$

Это прямое обобщение разложения по ортогональному базису в гильбертовом пространстве — только без всякой ортогональности, одна сходимость. Базисы известны у всех классических пространств: у $\ell^{p}$ и $c_{0}$ — координатные орты, у $L^{p}[0,1]$ — система Хаара, у $C[0,1]$ — система Фабера — Шаудера из ломаных.

Вопрос БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. (монография 1932 года): есть ли базис Шаудера у всякого сепарабельного банахова пространства?

Вопрос выглядел техническим, а был программным. Положительный ответ означал бы, что все банаховы пространства в существенном похожи на классические и поддаются координатному описанию.

Связь с приближением

ГротендикАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне. в 1955 году выделил более слабое свойство. Пространство обладает свойством аппроксимации, если тождественный оператор является пределом операторов конечного ранга равномерно на каждом компакте, — то есть если любой элемент можно приближать «конечными средствами» согласованно, одной формулой сразу для всего компакта.

Наличие базиса влечёт свойство аппроксимации (частные суммы ряда — как раз операторы конечного ранга). Значит, пространство без свойства аппроксимации автоматически не имеет и базиса, и достаточно построить одно такое.

Никто не сомневался, что таких пространств нет.

Что построил Энфло

В 1972 году Пер Энфло предъявил сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (работа вышла в «Acta Mathematica» в 1973-м). Обе задачи — Гротендика об аппроксимации и Банаха о базисе — оказались решены отрицательно.

Конструкция не абстрактная, а комбинаторная: пространство собирается из последовательности конечномерных кусков, подобранных так, чтобы у любого оператора, хорошо приближающего тождественный, след вступал в противоречие с нормой. У оператора конечного ранга есть след; если оператор близок к тождественному на подходящем куске, след обязан быть близок к размерности куска — а нормировка не позволяет ему быть таким большим. Куски подбираются с помощью оценок вероятностного характера, и вся трудность в том, чтобы согласовать их между собой.

Гусь

Мазур вручил Энфло живого гуся в Варшаве в 1972 году, через тридцать шесть лет после записи задачи. Церемонию показывали по польскому телевидению; фотография — двое улыбающихся мужчин и белая птица — стала самым известным изображением в истории функционального анализа.

Гуся, по воспоминаниям, съели.

Что это значило

Программа «описать все банаховы пространства по образцу классических» рухнула, и началась эпоха контрпримеров, каждый экзотичнее предыдущего. Уже через два года из Ленинграда придёт пространство Цирельсона, где нет вообще ни одного классического куска; в 1981-м Шанковский покажет, что свойства аппроксимации нет даже у алгебры всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

Стоит отметить и то, чего от такого поворота не ждали: экзотические пространства оказались полезны. Именно в специально построенном пространстве Аргироса и Хейдона (2011) впервые удалось положительно решить проблему инвариантного подпространства. Контрпримеры перестали быть кунсткамерой и стали инструментом.

Энфло дальше

Ту же проблему инвариантного подпространства — существует ли у всякого ограниченного оператора нетривиальное инвариантное подпространство — Энфло решил отрицательно для банаховых пространств: анонс 1975 года, публикация после многолетней проверки — 1987-й, около сотни страниц в «Acta Mathematica».

Случай гильбертова пространства оставался открытым десятилетиями. В 2023 году Энфло, которому было под восемьдесят, выложил препринт с доказательством и для него; на момент написания этой заметки работа продолжает проверяться специалистами, и осторожность здесь уместнее энтузиазма.

Отдельная деталь биографии: Энфло — концертирующий пианист. Он выступал с оркестрами с детских лет и продолжает давать концерты; по собственным словам, музыкой и математикой занимается на равных основаниях.

Следующая точка: Ленинград, 1974 — пространство, у которого нет ни одного классического куска, а норма определена через саму себя.