Карта → событие
Цирельсон: пространство, определённое через себя
Последняя надежда на классификацию
После гуся Энфло программа «описать банаховы пространства по образцу классических» лишилась базисов. Оставался запасной вопрос, поставленный ещё в книге БанахаСтефан БанахДал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. 1932 года и куда более скромный:
Верно ли, что всякое бесконечномерное банахово пространство содержит подпространство, изоморфное $c_{0}$ или какому-нибудь $\ell^{p}$?
Не «устроено как классическое» — всего лишь «содержит кусочек классического». Все известные примеры содержали, и не по одному разу. Казалось, что классические пространства — это кирпичи, из которых сложено всё остальное.
Приём: норма, определённая через себя
В 1974 году Борис Цирельсон предъявляет пространство, где нет ни одного такого подпространства. Конструкция занимает несколько строк — и в этом её главная неожиданность.
Норма задаётся не формулой, а условиями на саму себя. Берётся наименьшая функция $\|\cdot\|$ на финитных последовательностях, для которой
$$\|x\|\;\geqslant\;\|x\|_{\infty}\qquad\text{и}\qquad \|x\|\;\geqslant\;\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}\big\|E_{i}x\big\|$$
для всякого допустимого набора непересекающихся блоков $E_{1}<E_{2}<\dots<E_{k}$ — то есть такого, где число блоков $k$ не превосходит наименьшего номера, входящего в первый блок.
Условие допустимости стоит перевести на человеческий язык: резать вектор на много кусков разрешается только далеко от начала. На две части — начиная со второй координаты, на десять — начиная с десятой. Чем дальше по последовательности, тем сильнее норма «наказывает» за разброс.
Норма встречается в обеих частях неравенства, и это не описка. Определение рекуррентно: начинаем с $\|\cdot\|_{\infty}$, на каждом шаге берём максимум с блочными суммами; для каждого конкретного вектора процесс за конечное число шагов останавливается. Замкнутой формулы нет — и не может быть: формула означала бы, что пространство классическое.
Небольшая справка о названии: пространством Цирельсона $T$ в учебниках называют двойственное к исходному — так его переизложили Фигель и Джонсон в том же 1974 году, и в таком виде оно удобнее.
Что получилось
Пространство рефлексивно, имеет безусловный базис — и не содержит ни одного подпространства, изоморфного $c_{0}$ или $\ell^{p}$. Вопрос Банаха закрыт отрицательно; кирпичей не существует.
Отдельно любопытно происхождение условия допустимости. Семейства множеств, у которых мощность не превосходит наименьшего элемента, ввёл в 1930 году Юзеф Шраер — из того же львовского круга кафе «Шкоцка», отвечая на вопрос Банаха и Сакса. Через сорок четыре года его комбинаторная выдумка оказалась деталью, на которой держится главный контрпример дисциплины.
Потомство
| Год | Кто | Что |
|---|---|---|
| 1991 | Шлюмпрехт | усиленная конструкция Цирельсона — пространство, «искажающее» само себя |
| 1993 | Гауэрс и Мори | наследственно неразложимое пространство: никакое подпространство не расщепляется в прямую сумму |
| 1996 | Гауэрс | дихотомия: во всяком пространстве есть либо безусловная базисная последовательность, либо наследственно неразложимое подпространство |
| 2011 | Аргирос и Хейдон | пространство, где всякий оператор есть скаляр плюс компактный — и проблема инвариантного подпространства решена положительно |
Дихотомия Гауэрса заслуживает отдельного слова: она доказывается теоремой рамсеевского типа для бесконечных игр — то есть комбинаторикой неизбежного порядка, перенесённой на банаховы пространства. За эту работу Гауэрс получил Филдсовскую медаль в 1998 году.
Три вещи одного имени
Редкий случай: именем Цирельсона названы три разных объекта в трёх разных областях.
Пространство Цирельсона — здесь, 1974, функциональный анализ.
Дрейф Цирельсона — 1975, теория вероятностей: стохастическое уравнение, у которого решение существует, но не может быть выражено через порождающий его шум. Первый пример слабого решения без сильного — важнейшая тонкость исчисления Итô.
Граница Цирельсона — 1980, квантовая физика: величина $2\sqrt{2}$, дальше которой квантовые корреляции зайти не могут. Тогда же Цирельсон замечает, что вопрос о таких границах — это в точности вопрос о константе Гротендика, и связывает две работы, между которыми двадцать семь лет и ни одной общей ссылки.
В 1991 году Цирельсон переезжает в Израиль и до конца жизни работает в Тель-Авивском университете; умирает в 2020 году.
Что осталось от программы
Мир банаховых пространств оказался устроен богаче, чем хотелось его первым исследователям. Классификации не будет: наряду с $\ell^{p}$ и $C[0,1]$ существуют объекты, которые нельзя ни описать формулой, ни разложить на понятные части, — и единственный способ их предъявить состоит в том, чтобы определить их через самих себя. Дисциплина, начинавшаяся как способ решать чужие задачи, обзавелась собственными — и они оказались труднее.
Приём «определить через себя» на этом, впрочем, не кончится. Через четырнадцать лет он понадобится снова — и уже не ради контрпримера, а ради того, чтобы сжимать фотографии.
Следующая точка: Мюррей-Хилл, 1988 — базис, у которого тоже нет формулы, но который лежит у каждого в кармане.