Карта → событие
Львов: кафе «Шкоцка» и банаховы пространства
Скамейка в Планты
Летом 1916 года Гуго Штейнгауз, гуляя по краковскому парку Планты, услышал с соседней скамейки слова «интеграл Лебега» — предмет по тем временам настолько новый, что двое молодых людей, обсуждавших его в парке, не могли не заинтересовать. Это были Стефан Банах и Отто Никодим.
Банах (1892–1945) — внебрачный сын, воспитанный чужой семьёй, окончивший два курса Львовской политехники и работавший то дорожным рабочим, то репетитором, — университетского образования не имел. Штейнгауз стал его покровителем; в 1920-м Банах получил ассистентскую должность во Львовской политехнике, в 1922-м — хабилитацию, в 1927-м стал профессором. Штейнгауз позже говорил, что величайшим его открытием был Банах.
Идея: функция как точка
Основная мысль функционального анализа выглядит просто, а последствия имеет огромные.
Множество всех непрерывных функций на $[0,1]$ можно рассматривать как пространство, в котором каждая функция — точка. Расстояние между точками:
$$\|f-g\| = \max_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|.$$
Теперь «последовательность функций сходится» означает то же, что «последовательность точек сходится», и весь язык геометрии — окрестности, шары, компактность, полнота, ортогональность — становится применим к функциям.
Эта смена точки зрения переворачивает предмет: задача о дифференциальном уравнении превращается в задачу о неподвижной точке отображения, задача о рядах Фурье — в задачу о разложении по базису.
Аксиомы Банаха
Диссертация 1920 года (опубликована в «Fundamenta Mathematicae», 1922) даёт аксиоматическое определение.
Нормированное пространство — векторное пространство $X$ с функцией $\|\cdot\|: X\to[0,\infty)$:
- $\|x\| = 0 \iff x = 0$;
- $\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$;
- $\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$ (неравенство треугольника).
Банахово пространство — нормированное пространство, полное относительно метрики $d(x,y)=\|x-y\|$: всякая фундаментальная последовательность сходится.
Полнота — то же требование, что у ДедекиндаРихард ДедекиндОпределил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. для $\mathbb{R}$ (Дедекинд) и у ЛебегаАнри ЛебегПредложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами. для $L^2$ (Лебег). Без неё предельные переходы «проваливаются наружу».
Основные примеры:
| Пространство | Норма |
|---|---|
| $C[a,b]$ | $\displaystyle\max_{x}|f(x)|$ |
| $L^{p}$, $1\leqslant p<\infty$ | $\left(\int |f|^{p}\right)^{1/p}$ |
| $\ell^{p}$ | $\left(\sum |x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$ |
| $\ell^{\infty}$, $L^{\infty}$ | $\sup |x_{n}|$, ess sup $|f|$ |
Особое место занимает $L^{2}$: в нём есть скалярное произведение $\langle f,g\rangle = \int f\bar g$, порождающее норму, — это гильбертово пространство, ближайший функциональный родственник евклидова.
Три столпа
1. Теорема Хана — Банаха (Хан 1927, Банах 1929). Линейный функционал, заданный на подпространстве и ограниченный по норме, продолжается на всё пространство с сохранением нормы.
Значение: гарантирует, что «координат» на пространстве достаточно много. Без неё двойственные пространства могли бы оказаться пустыми, и вся теория рухнула бы.
2. Теорема Банаха — Штейнгауза (о равномерной ограниченности), 1927. Если семейство ограниченных операторов $\{T_\alpha\}$ ограничено в каждой точке ($\sup_\alpha\|T_\alpha x\|<\infty$ для каждого $x$), то оно ограничено равномерно ($\sup_\alpha\|T_\alpha\|<\infty$).
Красивейшее применение — снова к рядам ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.. Существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в заданной точке. Доказательство: нормы частичных сумм как операторов $C[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$ равны константам Лебега $L_n \sim \frac{4}{\pi^2}\ln n \to \infty$; будь ряды всех непрерывных функций сходящимися в данной точке, семейство было бы поточечно ограничено, значит и равномерно, — противоречие.
Заметьте характер результата: он доказывает существование, не строя примера. Дюбуа-Реймон в 1876 году построил такую функцию явно, ценой большого труда; Банах и Штейнгауз получают тот же результат из общего принципа в несколько строк. Это типичный выигрыш абстракции.
3. Теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графике (1929–1932). Непрерывная линейная биекция банаховых пространств имеет непрерывный обратный.
Все три доказываются на основе теоремы Бэра о категориях: полное метрическое пространство нельзя представить счётным объединением нигде не плотных множеств.
Принцип сжимающих отображений
Самое школьно-доступное и, возможно, самое полезное.
Теорема. Пусть $X$ — полное метрическое пространство и $T: X\to X$ удовлетворяет
$$d(Tx, Ty) \leqslant q\,d(x,y), \qquad 0\leqslant q<1.$$
Тогда у $T$ есть единственная неподвижная точка $x^{*}$, и итерации $x_{n+1}=Tx_{n}$ сходятся к ней из любого начального приближения, причём
$$d(x_{n}, x^{*}) \leqslant \frac{q^{n}}{1-q}\,d(x_{1},x_{0}).$$
Применение: теорема существования для дифференциальных уравнений. Задача $y' = f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ равносильна интегральному уравнению
$$y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))\,dt.$$
Правая часть — оператор $T$ на пространстве $C$ непрерывных функций. Если $f$ липшицева по $y$, то на достаточно малом отрезке $T$ сжимающий, и решение существует и единственно (теорема Пикара — Линделёфа).
Это образцовая демонстрация метода: вопрос о существовании функции сведён к вопросу о неподвижной точке в пространстве.
«Théorie des opérations linéaires» (1932)
Монография, после которой функциональный анализ осознал себя дисциплиной. Понятия, разбросанные по работам ФредгольмаЭрик Ивар ФредгольмПоказал, что интегральное уравнение ведёт себя как система линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных, — и линейная алгебра пережила переход в бесконечную размерность., ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., ФрешеМорис ФрешеВ диссертации 1906 года определил расстояние там, где нет чисел, — и превратил «близость» в отдельный предмет, из которого выросли метрические пространства и общая топология., РиссаФридьеш РиссПостроил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл., Хана и Винера, собраны в единую аксиоматическую теорию.
Приоритетная честность. Банах не был единственным: Морис Фреше ввёл метрические пространства в диссертации 1906 года, Фридьеш Рисс развил теорию $L^p$ и компактных операторов (1907–1918), Гильберт и Шмидт создали спектральную теорию (1900-е), Норберт Винер дал аксиомы нормированного пространства практически одновременно с Банахом (1922), но не стал развивать тему. Заслуга Банаха — в системе и в трёх фундаментальных теоремах.
Кафе «Шкоцка»
Львовская школа (Банах, Штейнгауз, Мазур, УламСтанислав УламРаскладывая пасьянс после болезни, придумал метод Монте-Карло — считать вероятность не формулой, а перебором случайных исходов. Заодно ему принадлежит схема, сделавшая водородную бомбу возможной., Шаудер, Орлич, Каччуp) работала не столько в университете, сколько в кафе «Szkocka» на площади Академической. Сеансы длились часами; Улам вспоминал заседание, тянувшееся семнадцать часов подряд.
Сначала задачи записывали карандашом на мраморных столешницах, и официанты стирали их к утру. В 1935 году жена Банаха купила большую тетрадь, которая хранилась у бармена и выдавалась по требованию, — «Шотландская книга». В ней 193 задачи с датами, авторами и обещанными призами: от кружки пива до килограмма бекона и живого гуся.
Задача 153 (Мазур, 6 ноября 1936): имеет ли всякое сепарабельное банахово пространство базис Шаудера? Приз — живой гусь.
Отрицательный ответ дал швед Пер Энфло в 1972 году. Мазур торжественно вручил ему гуся в Варшаве; церемонию показали по польскому телевидению. Тридцать шесть лет между вопросом и ответом.
Конец
Тетрадь пережила войну (её сохранила жена Банаха, затем сын передал Штейнгаузу; тот переслал копию Уламу в Лос-Аламос, и книга была издана по-английски).
Люди пережили хуже. Юлиуш Шаудер убит в 1943-м. Банах в оккупированном Львове выжил, работая кормильцем вшей в институте профессора Вайгля, производившем вакцину против сыпного тифа: это давало продовольственную карточку и защиту от облав. Он умер 31 августа 1945 года во Львове от рака лёгких, в 53 года, не дожив до предложенной ему кафедры в Кракове.
Следующая точка: Москва — производная там, где производной нет.