Эрик Ивар Фредгольм

Работ у Фредгольма немного, и почти все они об одном. Этого хватило, чтобы дать имя целому разделу и одной из самых используемых теорем анализа.

Стокгольм

Родился в 1866 году в Стокгольме, в состоятельной купеческой семье. Учился сперва на инженера в Технологическом институте, потом математике в Упсале, докторскую защитил в 1898-м. Работал в Стокгольмском университете, с 1906 года профессор; параллельно почти всю жизнь служил актуарием в страховом обществе.

Учителем его был Миттаг-Леффлер, издававший «Acta Mathematica», — благодаря чему шведская математика тех лет была связана со всей Европой.

Альтернатива

Задача такая. Дано интегральное уравнение

$$\varphi(x) - \lambda\int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt = f(x),$$

где $K$ — заданное ядро. Спрашивается, когда у него есть решение и единственно ли оно.

Уравнение выглядит как бесконечномерный аналог системы $x - \lambda A x = b$. Фредгольм в 1900 году показал, что аналогия не поверхностная: конечномерная теория переносится почти дословно.

Альтернатива Фредгольма. Либо однородное уравнение имеет только нулевое решение — и тогда неоднородное разрешимо при любой правой части, и единственным образом; либо однородное имеет ненулевые решения — и тогда неоднородное разрешимо лишь при условии ортогональности правой части ко всем решениям сопряжённого однородного уравнения.

Это в точности то, что в линейной алгебре говорит теорема Кронекера — Капелли, только в бесконечной размерности. Приём Фредгольма — предельный переход от конечных систем: он аппроксимировал интеграл суммой, выписал определители и доказал, что они сходятся к целым функциям параметра $\lambda$ (определители Фредгольма).

Что из этого вышло

Работу немедленно подхватил Гильберт. Из неё выросли: спектральная теория, понятие компактного оператора (свойство, которое на самом деле обеспечивает альтернативу), само гильбертово пространство и в конечном счёте функциональный анализ как отдельная наука.

Сегодня фредгольмовым называют оператор, у которого ядро и коядро конечномерны; разность их размерностей — индекс Фредгольма. Индекс не меняется при непрерывной деформации оператора, и это делает его топологическим инвариантом — из чего впоследствии выросла теорема об индексе Атьи — Зингера, связавшая анализ с топологией многообразий.

Ему же принадлежат работы по теории упругости и по дифференциальным уравнениям с частными производными; Мусхелишвили строил комплексные методы упругости на фредгольмовых уравнениях.

Умер в 1927 году в Мёрбю под Стокгольмом, шестидесяти одного года.