Пеано: аксиомы векторного пространства

Книга

Джузеппе Пеано, «Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva», Турин, 1888.

Название говорит о замысле: «Геометрическое исчисление по учению о протяжённости Г. ГрассманаГерман Грассманнемецкий учитель гимназии, математик и лингвист · 1809–1877Построил линейную и внешнюю алгебру за полвека до того, как они понадобились, — и, отчаявшись быть прочитанным, ушёл в санскрит, где и прославился., с предпосланными операциями дедуктивной логики».

Мотив. Труд Грассмана остался непрочитанным из-за философского языка. Пеано, прочитавший и понявший его, решил переизложить теорию — коротко, ясно, с примерами.

Это, между прочим, редкий и недооценённый жанр научной работы: сделать доступным чужое. Пеано преуспел — именно через его книгу идеи Грассмана вошли в оборот.

Глава IX

Но самое ценное — не пересказ, а то, что Пеано добавил от себя. В главе IX, озаглавленной «Trasformazioni di sistemi lineari», он даёт определение.

«Линейная система» — множество, на котором определены сложение и умножение на вещественное число, удовлетворяющие аксиомам:

$$a+b=b+a, \qquad (a+b)+c=a+(b+c),$$
$$m(a+b)=ma+mb, \qquad (m+n)a=ma+na, \qquad m(na)=(mn)a, \qquad 1\cdot a=a,$$

существует нуль: $a+0=a$; определено вычитание.

Это в точности современный список аксиом векторного пространства. Открыв любой учебник линейной алгебры, вы найдёте те же восемь пунктов.

И ключевое: Пеано явно оговаривает, что система может быть бесконечномерной, и приводит пример — множество многочленов, и множество функций.

Он же определяет линейные отображения между такими системами и вводит понятия ядра и образа.

Что это значит

Тридцать четыре года до Банаха (1922). Тридцать шесть лет до аксиом Винера. Восемнадцать лет до метрических пространств ФрешеМорис Фрешефранцузский математик · 1878–1973В диссертации 1906 года определил расстояние там, где нет чисел, — и превратил «близость» в отдельный предмет, из которого выросли метрические пространства и общая топология. (1906).

Определение Пеано — не набросок и не частный случай: это готовое современное определение, включая бесконечномерность.

И его не заметили. Причины:

• книга издана в Турине, на итальянском, малым тиражом;
• она позиционировалась как изложение Грассмана, то есть как вторичная работа, — и оригинальную главу IX никто не искал;
• время не пришло: понадобилось, чтобы функциональный анализ упёрся в необходимость абстрактных пространств (интегральные уравнения ФредгольмаЭрик Ивар Фредгольмшведский математик · 1866–1927Показал, что интегральное уравнение ведёт себя как система линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных, — и линейная алгебра пережила переход в бесконечную размерность. и ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., 1900-е), и только тогда определение понадобилось.

БанахСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. в 1922 году, по-видимому, о работе Пеано не знал.

Это, вероятно, самый чистый пример «преждевременного открытия» в алгебре — рядом с Грассманом, которого Пеано и излагал. Ирония двойная: человек, спасший от забвения одну недооценённую работу, тут же создал вторую.

Пеано вообще

Джузеппе Пеано (1858–1932), профессор Туринского университета и Военной академии.

• Аксиомы Пеано (1889) для натуральных чисел. Честно: он сам указывал, что взял их у ДедекиндаРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. («Was sind und was sollen die Zahlen?», 1888, точка об идеалах Дедекинда); название закрепилось за ним из-за формы записи.
• Кривая Пеано (1890), заполняющая квадрат, — второй «монстр» после вейерштрассовского (см. точку о Вейерштрассе).
• Теорема Пеано о существовании решения ОДУ при одной лишь непрерывности правой части.
• Символика логики: знаки $\in$, $\subset$, $\cup$, $\cap$, обозначения кванторов. Значительная часть символов, которыми мы пишем математику, придумана им.
• «Formulario mathematico» (1895–1908) — попытка записать всю известную математику в формальных символах; прямая предшественница «Principia Mathematica» РасселаБертран Расселанглийский логик, философ и общественный деятель · 1872–1970Тремя строчками разрушил дело чужой жизни, десять лет чинил сломанное, а потом ушёл из математики в философию и политику — и получил Нобелевскую премию по литературе. и Уайтхеда. Рассел прямо признавал, что знакомство с Пеано на конгрессе 1900 года в Париже стало для него поворотным.
• Latino sine flexione (1903) — искусственный международный язык на основе латыни без склонений и спряжений, который Пеано создал и на котором издавал последние выпуски «Formulario». Студенты, по свидетельствам, страдали.

Соседние точки: Грассман (1844) → Пеано → Банах (1922).