Фёдоров: двести тридцать способов быть кристаллом

Задача, которая выглядит как минералогия

Кристалл огранён плоскостями, и углы между гранями у одного минерала всегда одни и те же, какой бы величины и формы ни был образец. Это знали с XVII века и объясняли догадкой: вещество сложено из одинаковых частиц, уложенных правильными рядами.

Догадка оставалась догадкой. Атомов никто не видел; существование их в 1891 году всерьёз оспаривалось — Больцману за атомистику доставалось от коллег до конца жизни. Первое прямое подтверждение решётки — рентгеновская дифракция Лауэ — будет получено только в 1912 году.

То есть Фёдоров классифицировал внутреннее устройство кристаллов за двадцать один год до того, как это устройство было обнаружено. Работал он с чистой математикой: если частицы уложены периодически, то как именно они могут быть уложены?

Кто он был

Евграф Степанович Фёдоров (1853–1919) — фигура для русской науки характерная и всё же необычная. Военный инженер по первому образованию, участник народнических кружков, потом Горный институт, который он окончил в тридцать лет. Кристаллограф, минералог, геолог; изобрёл столик для микроскопа, которым геологи пользуются до сих пор и который называют фёдоровским. В 1905 году стал первым выборным директором Горного института. В 1919-м умер от воспаления лёгких в нетопленом Петрограде.

Главную работу он сделал, не имея академической должности: «Начала учения о фигурах» (1885) написаны, пока он служил на геологической съёмке.

Что именно доказано

Скажем задачу на современном языке.

Рассмотрим все движения плоскости (или пространства), которые переводят данный узор в себя. Они образуют группу. Потребуем от неё двух вещей: чтобы среди движений были сдвиги в двух (в пространстве — в трёх) независимых направлениях, и чтобы группа была дискретнойточки не сгущаются: у каждой точки есть окрестность, в которую её сдвигают лишь конечное число элементов группы. Такие группы называют кристаллографическими.

Теорема (Фёдоров, 1891). С точностью до непрерывной деформации кристаллографических групп на плоскости ровно 17, а в пространстве — ровно 230.

Плюс более ранний результат: выпуклых многогранников, которые замощают пространство одними параллельными переносами (их называют параллелоэдрами), ровно пять типов. Это 1885 год, и это прямая часть нашего сюжета: параллелоэдр — трёхмерный аналог плитки.

Откуда берётся запрет на пятёрку

Внутри теоремы сидит утверждение, которое можно доказать отдельно и которое стоит того, чтобы его знали в школе.

Кристаллографическое ограничение. Поворот, переводящий решётку в себя, может быть только на $180^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$ или $60^\circ$. Поворотов на $72^\circ$ — то есть пятерной симметрии — у решётки не бывает.

Вот и весь запрет. Красота его в том, что он ничего не знает ни про химию, ни про атомы: он следует из одной только периодичности.

Именно этот запрет будет нарушен в 1982 году — и нарушен так, что придётся менять не теорему (теорема верна), а определение кристалла.

Три человека и один список

Историю приоритета здесь стоит рассказать, потому что она редкая — счастливая.

В том же 1891 году немецкий математик Артур Шёнфлис независимо получил те же 230 групп. Списки поначалу не совпали: у обоих были ошибки. Фёдоров и Шёнфлис вступили в переписку, каждый нашёл пропуски у другого, оба внесли поправки — и окончательные списки совпали. Через три года к тому же результату третьим путём пришёл английский любитель Уильям Барлоу.

Три независимых вывода, сошедшихся в одном числе, — сильнейший аргумент за то, что список действительно полон. И ни одного скандала: в отличие от большинства сюжетов такого рода, здесь соперники помогли друг другу.

Чем это стало

После 1912 года, когда Лауэ увидел дифракцию рентгеновских лучей на кристалле, фёдоровский список из математического курьёза превратился в рабочий инструмент. Сегодня всякая расшифрованная структура — от поваренной соли до рибосомы — записывается с указанием пространственной группы из этих двухсот тридцати. Их номера и обозначения стоят в международных таблицах, которыми пользуются ежедневно тысячи людей, большинство из которых не подозревают, что список составлен в Петербурге в 1891 году.

Для нашей карты важнее другое. Фёдоров — прямое продолжение линии, которая идёт от Клейна («геометрия есть теория инвариантов группы»), через Ли и Киллинга. Только у тех классифицировались непрерывные симметрии, а здесь — дискретные, и ответом оказалось не бесконечное семейство, а конечный перечень.