Карта → событие
«Ars Magna»: драма кубических уравнений
Уточнение географии
Исходная версия относит книгу к Милану. КарданоДжероламо КарданоНапечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе. действительно жил и работал в Милане, но «Ars Magna» напечатана в Нюрнберге, у Иоганна Петрея — того самого печатника, что двумя годами раньше выпустил «De revolutionibus» Коперника. Для карты корректнее: написано в Милане, издано в Нюрнберге; сама же драма разворачивалась в Болонье, Венеции и Милане.
Действующие лица и хронология
| Год | Событие |
|---|---|
| ок. 1515 | Сципион дель Ферро, профессор Болонского университета, находит решение $x^{3}+px=q$. Никому не сообщает; записывает в тетрадь |
| 1526 | Дель Ферро умирает; тетрадь достаётся зятю Аннибале делла Наве, метод — ученику Антонио Фиоре |
| 1535 | Фиоре вызывает Никколо Тарталью на математический поединок (тридцать задач с каждой стороны). Тарталья, поняв, что противник владеет секретом, за ночь до срока находит метод сам — и решает все тридцать задач; Фиоре ни одной |
| 1539 | Джероламо Кардано уговаривает Тарталью открыть метод. 25 марта Тарталья сообщает его в виде зашифрованного стихотворения — под клятву не публиковать |
| 1540 | Ученик Кардано Лодовико Феррари решает уравнение четвёртой степени, сведя его к кубическому. Публиковать нельзя: решение опирается на метод Тартальи |
| 1543 | Кардано и Феррари едут в Болонью, получают доступ к тетради дель Ферро и убеждаются, что метод найден за двадцать лет до Тартальи |
| 1545 | «Ars Magna» выходит в Нюрнберге. Кардано публикует всё, ссылаясь на дель Ферро и Тарталью поимённо |
| 1546–48 | Тарталья публикует яростные обвинения. Дело кончается публичным диспутом в Милане (10 августа 1548) между Тартальей и Феррари; Тарталья уезжает, не доведя спор до конца |
О клятве. Кардано формально её нарушил. Его оправдание: клятва касалась метода Тартальи, а он публикует метод дель Ферро, найденный раньше и независимо. Аргумент юридически ловкий и морально сомнительный; при этом Кардано в тексте книги честно указывает обоих авторов, что для эпохи скорее исключение.
Стихотворение Тартальи, кстати, сохранилось, и первая строфа в подстрочнике звучит так: «Когда куб с вещами вместе равен некоторому числу, найди два других, которые различаются на это число».
Математика: депрессированное уравнение
Общее кубическое уравнение
$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$
подстановкой $x = t - \dfrac{b}{3a}$ (сдвиг, убивающий квадратичный член — то же, что дополнение до квадрата, только на этаж выше) приводится к неполному виду:
$$t^{3}+pt+q=0.$$
Приём дель Ферро — Тартальи. Ищем $t$ в виде суммы двух слагаемых: $t = u+v$. Тогда
$$t^{3} = u^{3}+v^{3}+3uv(u+v) = u^{3}+v^{3}+3uv\,t,$$
то есть
$$t^{3}-3uv\,t-(u^{3}+v^{3})=0.$$
Сравним с исходным $t^{3}+pt+q=0$. Достаточно потребовать
$$3uv = -p, \qquad u^{3}+v^{3}=-q.$$
Обозначим $U=u^{3}$, $V=v^{3}$. Тогда
$$U+V = -q, \qquad UV = -\frac{p^{3}}{27}.$$
Сумма и произведение известны — значит, $U$ и $V$ суть корни квадратного уравнения (задача, решённая ещё в Вавилоне!):
$$z^{2}+qz-\frac{p^{3}}{27}=0 \quad\Longrightarrow\quad U,V = -\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}.$$
Отсюда формула Кардано:
$$\boxed{\;t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\;+\;\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\;}$$
Проверка на простом примере. $t^{3}+6t-20=0$, то есть $p=6$, $q=-20$. Под корнем: $\frac{400}{4}+\frac{216}{27}=100+8=108$, $\sqrt{108}=6\sqrt3\approx10{,}392$.
$$t = \sqrt[3]{10+10{,}392}+\sqrt[3]{10-10{,}392} = \sqrt[3]{20{,}392}+\sqrt[3]{-0{,}392} \approx 2{,}732-0{,}732 = 2.$$
И действительно $8+12-20=0$. $\checkmark$
Идея «искать корень в виде суммы двух радикалов» кажется взятой с потолка, но она глубока: это первое появление резольвенты — вспомогательного уравнения меньшей степени, к которому сводится исходное. Через триста лет ЛагранжЖозеф Луи ЛагранжНаписал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. поймёт, что резольвенты связаны с перестановками корней, и с этого начнётся теория Галуа.
Уравнение четвёртой степени: приём Феррари
$$x^{4}+px^{2}+qx+r=0.$$
Перенесём и дополним до квадрата: $\left(x^{2}+\frac{p}{2}\right)^{2} = \frac{p^{2}}{4}-r-qx$. Теперь добавим к обеим частям параметр $y$ так, чтобы левая часть осталась квадратом:
$$\left(x^{2}+\frac{p}{2}+y\right)^{2} = 2y\,x^{2}-qx+\left(\frac{p^{2}}{4}-r+py+y^{2}\right).$$
Подберём $y$ так, чтобы правая часть тоже стала полным квадратом. Квадратный трёхчлен $Ax^2+Bx+C$ — полный квадрат тогда и только тогда, когда $B^{2}-4AC=0$:
$$q^{2}-8y\left(\frac{p^{2}}{4}-r+py+y^{2}\right)=0.$$
Это кубическое уравнение относительно $y$ — «резольвента Феррари». Решив его формулой Кардано, получаем равенство двух квадратов, извлекаем корень и приходим к двум квадратным уравнениям.
Итог 1545 года: степени 1, 2, 3, 4 решены в радикалах. Естественная гипотеза — что так будет и дальше. На её опровержение уйдёт 279 лет (Абель).
Неприводимый случай и рождение комплексных чисел
Вот главное последствие, ради которого эта точка стоит в линии алгебры, а не только в истории курьёзов.
Рассмотрим $x^{3}=15x+4$, то есть $p=-15$, $q=-4$. Подставляем:
$$\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27} = 4 + \frac{-3375}{27} = 4-125 = -121.$$
Под квадратным корнем отрицательное число. Формула даёт
$$x = \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}.$$
При этом уравнение имеет совершенно нормальный корень: $x=4$ (проверка: $64=60+4$). И даже три вещественных корня: $4$, $-2+\sqrt3$, $-2-\sqrt3$.
Парадокс. Все три корня вещественны — а формула требует пройти через мнимые числа. Это и называется casus irreducibilis, «неприводимый случай», и он возникает ровно тогда, когда все три корня вещественны и различны (то есть когда дискриминант положителен).
Позднее было доказано (Гёльдер, 1891): в неприводимом случае выразить корни через вещественные радикалы принципиально невозможно. Обойти мнимые числа нельзя — не по недостатку изобретательности, а по существу дела.
Разрешение — БомбеллиРафаэль БомбеллиИнженер, осушавший болота, выписал правила арифметики для корня из минус единицы — и показал, что через мнимые числа проходит дорога к вещественному ответу. Комплексные числа вошли в математику как рабочая…. Рафаэль Бомбелли в «L'Algebra» (Болонья, 1572) делает решающий шаг: он предполагает, что два кубических радикала — сопряжённые выражения вида $2\pm b\sqrt{-1}$, и проверяет.
Возьмём $(2+\sqrt{-1})^{3}$. Считаем, помня, что $\left(\sqrt{-1}\right)^2=-1$:
$$(2+i)^{2} = 4+4i+i^{2}=3+4i, \qquad (2+i)^{3}=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^{2}=2+11i.$$
А $11i = \sqrt{-121}$. Значит,
$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} = 2+i, \qquad \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-i,$$
и сумма равна $4$ — тому самому вещественному корню. Мнимые части сократились. $\checkmark$
Бомбелли формулирует правила действий с $\sqrt{-1}$ («più di meno» и «meno di meno» в его терминологии) и честно замечает, что дело кажется скорее софистическим, чем истинным, но результат верен.
Это ключевой момент в истории чисел. Комплексные числа вошли в математику не из философских соображений и не для решения квадратных уравнений (там при $D<0$ можно было просто сказать «решений нет»), а как неустранимый промежуточный этап вычисления вещественного ответа. Их нельзя было отбросить, потому что без них не получался правильный результат.
Дальше: ДекартРене ДекартСоединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. вводит слово «мнимые» (1637, с уничижительным оттенком); ЭйлерЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. — обозначение $i$ (1777); Вессель (1799), Арган (1806) и ГауссКарл Фридрих Гаусс«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. дают геометрическую интерпретацию; Гаусс же вводит термин «комплексные». Полное признание — только в XIX веке, через триста лет после Бомбелли.
О Кардано
Человек, о котором стоит сказать отдельно. Врач (лечил архиепископа Сент-Эндрюсского от астмы, поставив верный диагноз — аллергия на перо в подушках), астролог, философ, изобретатель карданного вала и карданного подвеса, автор около двухсот сочинений и одной из первых автобиографий.
Профессиональный игрок — его «Книга об игре в кости» содержит первое систематическое изложение вероятностных расчётов (отдельная точка в линии вероятностей), но пролежала в столе и вышла только в 1663 году.
Судьба его печальна: старший сын казнён в 1560 году за отравление жены; сам Кардано в 1570-м арестован инквизицией (по обвинению в составлении гороскопа Христа) и провёл несколько месяцев в тюрьме; умер в Риме в 1576-м, получая папскую пенсию.
Следующая точка: Франция — момент, когда алгебра научилась писать.