Ночь Галуа

Задача, стоявшая 279 лет

После 1545 года («Ars Magna») степени до четвёртой решены. Формулы для пятой не находилось.

ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. («Размышления об алгебраическом решении уравнений», 1770–71) первым понял, почему. Он заметил, что все известные методы устроены одинаково: строится вспомогательная функция от корней (резольвента), и работает метод ровно тогда, когда эта функция принимает мало различных значений при перестановках корней.

Для кубического уравнения резольвента Лагранжа

$$r = x_{1}+\omega x_{2}+\omega^{2}x_{3}, \qquad \omega = e^{2\pi i/3},$$

при всех шести перестановках корней принимает лишь два различных значения (для $r^3$) — поэтому получается квадратное уравнение, и всё сходится. Для степени 4 аналогично выходит кубическая резольвента. А для степени 5 естественная резольвента принимает шесть значений, то есть уравнение шестой степени — хуже исходного.

Лагранж не сумел доказать невозможность, но поставил вопрос в правильных терминах: дело в перестановках корней.

Паоло Руффини (Модена, 1799) публикует доказательство неразрешимости — 516 страниц, с существенным пробелом, которого никто не заметил, потому что почти никто не дочитал.

Нильс Хенрик АбельНильс Хенрик Абельнорвежский математик · 1802–1829Доказал, что формулы для уравнения пятой степени не существует, и потребовал от математики строгости, которой она тогда не знала, — за шесть лет работы и двадцать шесть лет жизни. (Христиания, 1824) даёт строгое доказательство. Первая публикация — брошюра в шесть страниц, напечатанная за свой счёт и настолько сжатая, что понять её было почти невозможно; полная версия — в первом томе журнала Крелле (1826). Абелю 22 года; он умрёт в 26 (см. точку об Абеле в линии анализа).

Теорема Абеля — Руффини. Общее уравнение степени $n\geqslant5$ неразрешимо в радикалах.

Но остаётся вопрос: какие конкретные уравнения решаются, а какие нет? Ведь $x^5-2=0$ решается элементарно. На это отвечает Галуа.

Жизнь в двадцать лет

Эварист Галуа (1811–1832):

• 1828, 1829 — дважды проваливает вступительные экзамены в Политехническую школу. По преданию, на втором экзамене бросил в экзаменатора тряпкой; преданию верить не обязательно, но реальность была не лучше: отец Галуа, мэр Бур-ла-Рена, покончил с собой за несколько недель до второй попытки.
• 1829 — поступает в Высшую нормальную школу.
• 1830 — Июльская революция. Директор запирает студентов в здании, чтобы не пустить на баррикады; Галуа публикует гневное письмо и в январе 1831-го исключён.
• 1831 — вступает в республиканскую артиллерию Национальной гвардии. Дважды арестован: в мае за тост с ножом в руке в честь Луи-Филиппа (оправдан), в июле за ношение запрещённой формы (девять месяцев тюрьмы Сент-Пелажи).
• 30 мая 1832 — дуэль. Ранен в живот, умер 31 мая в госпитале Кошен. Последние слова брату, по преданию: «Не плачь, мне нужно всё моё мужество, чтобы умереть в двадцать лет».

Причина дуэли не установлена. Версии: любовная история (в бумагах фигурирует некая Стефани, по-видимому Стефани-Фелиси Потрен дю Мотель, дочь врача); политическая провокация; дуэль между республиканцами. Заговора полиции, вопреки романтической легенде, историки не находят.

Судьба рукописей — с необходимым исправлением

Исходная версия говорит: «КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. (1829) их потерял или отверг». Это устаревшая версия, и её стоит поправить.

Исследование Рене Татона (1971), основанное на протоколах Академии, показало: Коши не терял рукопись и не отвергал её. Он получил два мемуара Галуа в мае 1829 года, доложил о них Академии в январе 1830-го, отозвался положительно и посоветовал Галуа объединить работы и подать на Большую премию Академии — что было доброжелательным и разумным советом. Легенда о небрежном Коши, погубившем гения, восходит к более поздним пересказам.

Дальнейшее, увы, было мрачным:

Дата	Событие
май 1829	Первые мемуары поданы; Коши рецензирует благосклонно
янв. 1830	Коши докладывает Академии, советует подать на Большую премию
февр. 1830	Галуа подаёт переработанный мемуар секретарю Академии ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.. Фурье умирает 16 мая 1830 года; рукопись в его бумагах не найдена
янв. 1831	Третья подача. Рецензенты — ПуассонСимеон Дени Пуассонфранцузский математик, механик и физик · 1781–1840Его именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа. и Лакруа
июль 1831	Пуассон возвращает с отзывом: рассуждения «не настолько ясны и не настолько развиты, чтобы мы могли судить об их точности»
май 1832	Ночное письмо Огюсту Шевалье
1846	ЛиувилльЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. публикует работы Галуа в «Journal de mathématiques pures et appliquées»
1870	Камиль ЖорданКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным., «Traité des substitutions et des équations algébriques» — первое систематическое изложение

Итого: от написания до публикации четырнадцать лет, до полноценного понимания — около сорока. Отзыв Пуассона, кстати, был не глупостью, а честной оценкой: рукопись действительно написана крайне сжато, и Лиувиллю понадобилось несколько месяцев, чтобы в ней разобраться.

Идея: от уравнения к группе

Вот содержание теории, которое стоит изложить внятно, потому что оно того стоит.

Шаг 1. Группа уравнения. Рассмотрим многочлен $P$ с рациональными коэффициентами и его корни $x_1,\ldots,x_n$. Присоединим их к полю $\mathbb{Q}$ — получим поле разложения $K$.

Группа Галуа $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ — это множество всех перестановок корней, сохраняющих все алгебраические соотношения между ними с рациональными коэффициентами. Формально: автоморфизмы поля $K$, оставляющие $\mathbb{Q}$ на месте.

Пример. $x^{2}-2=0$, корни $\pm\sqrt2$. Соотношение $x_1+x_2=0$ сохраняется при перестановке. Группа Галуа состоит из двух элементов: тождественного и $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$. Это $\mathbb{Z}/2$.

Пример посложнее. $x^{4}-2=0$, корни $\pm\sqrt[4]{2}$, $\pm i\sqrt[4]{2}$. Не все $4!=24$ перестановки допустимы: например, соотношение $x_1x_2=-\sqrt2$ должно сохраняться. Группа Галуа оказывается группой симметрий квадрата, порядка 8.

Шаг 2. Соответствие Галуа. Между промежуточными полями $\mathbb{Q}\subseteq F\subseteq K$ и подгруппами $H\subseteq \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ существует взаимно однозначное соответствие, обращающее включения: чем больше поле, тем меньше группа.

Это и есть главное открытие: вопрос о полях переводится в вопрос о конечных группах, где можно считать.

Шаг 3. Что значит «решается в радикалах». Решить в радикалах — значит построить цепочку расширений, на каждом шаге присоединяя корень некоторой степени:

$$\mathbb{Q}=F_{0}\subset F_{1}\subset\cdots\subset F_{m}=K, \qquad F_{i+1}=F_{i}\left(\sqrt[k_i]{a_i}\right).$$

По соответствию Галуа этой цепочке отвечает цепочка подгрупп, и присоединение корня степени $k$ отвечает циклической факторгруппе.

Определение. Группа $G$ называется разрешимой, если существует цепочка

$$\{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft\cdots\triangleleft G_{m}=G$$

с абелевыми факторами $G_{i+1}/G_{i}$.

Теорема Галуа.

$$\boxed{\;\text{Уравнение решается в радикалах}\iff\text{его группа Галуа разрешима.}\;}$$

Почему пятая степень

Группа Галуа общего уравнения степени $n$ — это вся симметрическая группа $S_n$ (все $n!$ перестановок корней допустимы, поскольку между корнями «общего» уравнения нет никаких соотношений).

• $S_2$ — порядок 2, абелева: разрешима.
• $S_3$ — порядок 6, цепочка $\{e\}\triangleleft A_3\triangleleft S_3$ с факторами $\mathbb{Z}/3$ и $\mathbb{Z}/2$: разрешима.
• $S_4$ — порядок 24, цепочка $\{e\}\triangleleft V_4\triangleleft A_4\triangleleft S_4$ с факторами $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$, $\mathbb{Z}/3$, $\mathbb{Z}/2$: разрешима. Именно эта цепочка стоит за приёмом Феррари — четвёртая группа Клейна $V_4$ отвечает кубической резольвенте.
• $S_5$ — неразрешима, потому что содержит $A_5$.

Ключевой факт: $A_5$ — простая группа порядка 60. Простая — значит без нетривиальных нормальных подгрупп; неабелева простая группа заведомо неразрешима, поскольку цепочку строить не из чего.

Это наименьшая неабелева простая группа, и всё упирается в неё. Абстрактный факт о шестидесяти перестановках пяти объектов запрещает существование формулы для корней — связь, которую до Галуа никто не мог вообразить.

Отсюда, между прочим, следует и то, что конкретные уравнения пятой степени вполне могут решаться: $x^5-2=0$ имеет циклическую группу Галуа. Неразрешимо общее уравнение, и конкретный пример неразрешимого — $x^{5}-6x+3=0$ (его группа Галуа есть $S_5$).

Что ещё в ночном письме

Письмо Огюсту Шевалье, написанное в ночь на 30 мая (сохранилось; на полях рукописей — пометки «У меня нет времени»), содержит не только теорию уравнений:

• Понятие нормальной подгруппы (у Галуа — «собственное разложение») и факторгруппы.
• Простота групп $\mathrm{PSL}(2,p)$ при $p>3$ и замечание, что при $p=5,7,11$ они имеют представления особо малой степени. Это, по существу, первые нетривиальные примеры простых групп после знакопеременных — начало пути, ведущего к классификации конечных простых групп и Монстру.
• Наброски теории абелевых интегралов — работа, независимо проделанная РиманомБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. двадцатью годами позже.
• Идеи о конечных полях (поля Галуа $\mathbb{F}_{p^n}$ носят его имя).

Двадцатилетний человек за одну ночь набросал программу, которой хватило математике на столетие.

Дальнейшая судьба теории

• Жордан (1870) — первое связное изложение; по этой книге теорию групп учили КлейнФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. и Ли.
• ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге., КронекерЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни…, Вебер переводят её на язык полей.
• АртинЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор. (1930-е) даёт современную формулировку через автоморфизмы, свободную от «резольвент» и вычислений с корнями. Именно артиновская версия излагается сегодня.
• Обратная задача Галуа («всякая ли конечная группа является группой Галуа некоторого расширения $\mathbb{Q}$?») — открыта до сих пор, хотя для многих классов групп ответ положителен.

Следующая точка: Дублин — момент, когда выяснилось, что законы арифметики можно выбирать.