Moonshine: Монстр и лунный свет

Два числа

Со стороны алгебры. Наименьшая нетривиальная размерность представления Монстра равна

$$196\,883.$$

Со стороны теории чисел. Существует $j$-инвариант — модулярная функция, центральный объект теории эллиптических кривых и комплексного умножения. Она определена на верхней полуплоскости и инвариантна относительно группы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$:

$$j\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=j(\tau) \quad\text{при}\quad ad-bc=1.$$

Её разложение в ряд по $q=e^{2\pi i\tau}$:

$$j(\tau) = \frac{1}{q}+744+196\,884\,q+21\,493\,760\,q^{2}+864\,299\,970\,q^{3}+\cdots$$

Эти коэффициенты известны с XIX века (КлейнФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики., ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге., ЭрмитШарль Эрмитфранцузский математик · 1822–1901Доказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом.) и вычислялись из совершенно других соображений — из теории эллиптических функций и модулярных форм.

Наблюдение

В 1978 году Джон Маккей, читая статью о $j$-инварианте, замечает:

$$\boxed{\;196\,884 = 196\,883+1\;}$$

Коэффициент модулярной функции равен размерности представления Монстра плюс единица (размерность тривиального представления).

Он написал об этом Джону ТомпсонуДжон Григгс Томпсонамериканский математик · род. 1932Доказал вместе с Фейтом, что всякая конечная группа нечётного порядка разрешима, — работа заняла 255 страниц и целый выпуск журнала — и этим открыл дорогу к классификации конечных простых групп. (тому самому, из точки о Фейте и Томпсоне). Реакция большинства коллег: совпадение. Числа большие, но не астрономические; при желании можно подобрать что угодно.

Томпсон проверил следующий коэффициент. Размерности неприводимых представлений Монстра: $1$, $196\,883$, $21\,296\,876$, $842\,609\,326$, …

$$21\,493\,760 = 21\,296\,876+196\,883+1. \quad\checkmark$$

$$864\,299\,970 = 842\,609\,326 + 21\,296\,876 + 2\cdot196\,883+2\cdot1. \quad\checkmark$$

Совпадением это быть перестало. Каждый коэффициент $j$-функции оказывается суммой размерностей представлений Монстра с небольшими неотрицательными целыми кратностями.

Что означает: существует градуированное представление Монстра

$$V = \bigoplus_{n\geqslant-1}V_{n}, \qquad \dim V_{n} = c_{n},$$

где $c_n$ — коэффициенты $j$-функции.

Гипотеза

Джон Конвей и Саймон Нортон (Кембридж, 1979) в статье «Monstrous Moonshine» формулируют гипотезу в полной силе.

Идея: если $V$ — представление Монстра, то для каждого элемента $g\in M$ определён ряд из характеров!:

$$T_{g}(\tau)=\sum_{n\geqslant-1}\operatorname{tr}\left(g\big|V_{n}\right)q^{n}.$$

При $g=e$ след равен размерности, и мы получаем $j$-функцию (без константы 744). А для остальных $g$?

Гипотеза Конвея — Нортона. Для каждого элемента $g$ Монстра ряд $T_{g}$ является хауптмодулем (главным модулем) для некоторой подгруппы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ рода нуль.

Всего таких функций 194 (по числу классов сопряжённости), фактически различных — 171.

О названии. Слово moonshine по-английски означает и «лунный свет», и «вздор, бредни», и «самогон». Конвей объяснял, что выбрал его именно за двусмысленность: гипотеза выглядела как чистый бред, и это надо было отразить в названии.

Предвестник. Ещё в 1975 году Эндрю Огг заметил: простые числа $p$, для которых кривая $X_0(p)^{+}$ имеет род нуль, — это в точности

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 41,\ 47,\ 59,\ 71$$

— ровно те простые, что делят порядок Монстра. Огг объявил награду в бутылку виски Jack Daniel's тому, кто объяснит совпадение. Объяснение пришло вместе с доказательством Борчердса, пятнадцать лет спустя.

Доказательство

Ричард Борчердс (Кембридж, 1992; статья «Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras», Inventiones Mathematicae).

Ключевые ингредиенты:

1. Модуль Монстра. Френкель, Леповски и Мёрман (1988) построили пространство $V^{\natural}$ («$V$-натуральное») — вершинную операторную алгебру с группой автоморфизмов, равной Монстру, и с нужными размерностями компонент.

Вершинная операторная алгебра — алгебраическая структура, аксиоматизирующая понятие «алгебры операторных разложений» из двумерной конформной теории поля. Физики пользовались этим объектом с конца 1970-х в теории струн; Борчердс дал ему строгое определение (1986).

2. Алгебра Монстра. Из $V^{\natural}$ Борчердс строит бесконечномерную обобщённую алгебру КацаВиктор Кацсоветский и американский математик · род. 1943Снял с алгебр Ли условие конечномерности — и получил бесконечномерные алгебры Каца — Муди, на представлениях которых сегодня стоят и конформная теория поля, и квантовые группы, и «чудовищный вздор». — Муди (алгебру Борчердса) — своего рода алгебру Ли с бесконечной системой корней.

3. Тождества-знаменатели. Для этой алгебры выписывается «формула знаменателя» — обобщение формулы ВейляГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. для конечномерных алгебр Ли. Она даёт рекуррентные соотношения на коэффициенты:

$$p^{-1}\prod_{m>0,\ n\in\mathbb{Z}}\left(1-p^{m}q^{n}\right)^{c(mn)} = j(\sigma)-j(\tau),$$

где $p=e^{2\pi i\sigma}$. Из подобных тождеств выводится, что все $T_g$ удовлетворяют тем же рекуррентностям, что и хауптмодули, — и, поскольку первых нескольких коэффициентов достаточно, чтобы функция определилась однозначно, гипотеза доказана.

Филдсовская медаль 1998 года (Берлин). Борчердс в интервью отзывался о медали сдержанно, замечая, что она не делает человека умнее.

Почему это важно

Стоит понять масштаб странности.

Монстр — объект конечной алгебры, найденный при переборе возможных централизаторов инволюций. $j$-инвариант — объект комплексного анализа и теории чисел, возникший из теории эллиптических функций. Эти области не имеют между собой никакой видимой связи.

Мост между ними оказался проложен через двумерную конформную теорию поля — раздел теоретической физики. Модуль $V^{\natural}$ имеет физическую интерпретацию: это пространство состояний струнной теории на 24-мерном торе, факторизованном по решётке Лича с определённой симметрией. Монстр — группа симметрий этой физической модели.

То есть: крупнейшая конечная симметрия оказалась группой симметрий вселенной, в которой живёт бозонная струна, а коэффициенты классической модулярной функции — числами состояний в этой вселенной.

Никто такого не заказывал и не предвидел.

Продолжения

• Umbral moonshine (2010-е): аналогичные связи для групп Матьё. Эгучи, Ои, Танака заметили, что коэффициенты эллиптического рода поверхностей K3 связаны с представлениями $M_{24}$; Чэн, Дункан и Харви развили это в семейство из 23 «умбральных» соответствий, доказанных Дунканом, Гриффином и Оно (2015).
• Moonshine для других групп; связи с эллиптическими когомологиями, с топологической модулярной формой $\mathrm{tmf}$.
• Физическое понимание остаётся неполным: доказательство Борчердса верно, но вопрос «почему так должно быть» открыт. Ведутся работы, связывающие moonshine с трёхмерной квантовой гравитацией и с голографическим принципом.

Рифма с началом линии

Финал линии перекликается с её началом.

Вавилонский писец обнаружил, что случайный на вид набор чисел подчиняется правилу, которое можно записать. Маккей обнаружил, что случайный на вид набор чисел (коэффициенты $j$-функции) подчиняется правилу, связанному с объектом из совершенно другой области.

Алгебра снова оказалась наукой о неожиданных законах — которые можно открыть, но нельзя выбрать. Вопрос «а почему бы им не быть иными» здесь бессмыслен: числа $196\,883$ и $196\,884$ не назначены никем.

Следующая точка: Ленинград — откуда квантовые группы взялись до того, как их так назвали.