Ленглендс: письмо Вейлю

Письмо

В январе 1967 года тридцатилетний Роберт Ленглендс, тогда сотрудник Принстонского университета, написал Андре Вейлю письмо на семнадцати страницах от руки. Оно начиналось так:

Если Вы готовы прочесть это как чистую спекуляцию, я буду признателен; если нет — я уверен, что у Вас под рукой есть корзина для бумаг.

ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. корзиной не воспользовался. Он попросил перепечатать письмо на машинке — почерк был трудным, — и машинописная копия несколько лет ходила по рукам среди специалистов, прежде чем что-либо было опубликовано.

Идея пришла к нему на рождественских каникулах 1966 года, а поводом послужил разговор в коридоре после чужого доклада. В письме впервые появляется объект, который теперь называют $L$-группой — двойственная группа, без которой формулировки не работают.

Что в нём предложено

Чтобы понять замысел, полезно вспомнить, как выглядела линия к этому моменту.

Закон квадратичной взаимности Гаусса: вопрос «как раскладывается $x^{2}-q$ по модулю $p$» имеет ответ, зависящий только от $p$ по некоторому модулю. Закон взаимности АртинаЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор. (1927, доказанный трюком Чеботарёва) обобщает это на все абелевы расширения: поведение простых описывается характерами конечной абелевой группы, то есть простейшими автоморфными объектами.

Гипотеза модулярности Таниямы: числа $a_p$, полученные счётом точек эллиптической кривой над $\mathbb{F}_p$, суть коэффициенты модулярной формы. Здесь уже неабелев случай — группа $\mathrm{GL}_2$.

Ленглендс предлагает увидеть в этом одно явление и сформулировать его в общем виде.

Соответствие Ленглендса (схематически). Всякому $n$-мерному представлению группы ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. поля отвечает автоморфное представление группы $\mathrm{GL}_n$, и при этом соответствии совпадают $L$-функции.

Слева — арифметика: симметрии решений уравнений. Справа — анализ: функции на группах, разложения по собственным функциям оператора ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего.. Между ними, по гипотезе, — словарь.

Второй столп программы — функториальность: всякому гомоморфизму $L$-групп должно отвечать соответствие между автоморфными представлениями. Отсюда, в частности, следовали бы почти все известные обобщения закона взаимности.

Прикладная сила программы в том, что она превращает утверждения о целых числах в утверждения об аналитических объектах, где работают совсем другие методы. Именно так и была закрыта Великая теорема Ферма: доказана не она, а частный случай соответствия.

Три колонки Розеттского камня

Вейль — адресат письма — за десять лет до того сформулировал метафору, которая помогает понять размах замысла. Есть три параллельных мира:

Утверждения в этих колонках выглядят одинаково, а трудность различается драматически. Программа Ленглендса формулируется во всех трёх, и продвигаться удавалось справа налево.

• Владимир ДринфельдВладимир Дринфельдсоветский и американский математик · род. 1954Придумал квантовые группы — деформацию алгебры, из которой инварианты узлов получаются пачками; шестнадцати лет выступал на международном конгрессе, в тридцать шесть получил Филдсовскую медаль. (1974, Харьков) доказал соответствие для $\mathrm{GL}_2$ над функциональными полями — Филдсовская медаль 1990 года. Его точка на этой карте стоит в линии алгебры, но родословная у неё общая.
• Лоран Лаффорг (2002) — для $\mathrm{GL}_n$ над функциональными полями; Филдсовская медаль.
• Нго Бао Тяу (2008) доказал фундаментальную лемму — техническое утверждение, которое двадцать лет было главным препятствием; Филдсовская медаль 2010 года.
• Геометрическая программа (Бейлинсон и Дринфельд, затем многие): перевод на язык пучков на пространствах модулей. О доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса объявлено в 2024 году коллективом под руководством Гайцгори и Раскина — в пяти статьях объёмом около тысячи страниц.

Над числовыми полями — самой трудной колонкой — доказаны важные частные случаи, включая случай модулярности, но общая картина остаётся гипотезой.

Неожиданное продолжение: физика

В 2006 году Антон Капустин и Эдвард ВиттенЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами. обнаружили, что геометрическая программа Ленглендса естественно возникает в четырёхмерной калибровочной теории — как проявление электромагнитной двойственности (S-дуальности), меняющей местами электрический и магнитный заряды.

Это тот же сюжет, что уже дважды встречался на соседних линиях: язык, придуманный Янгом и Миллсом для ядерных сил, оказался дифференциальной геометрией, а теперь — ещё и подходящей рамкой для теории чисел. Никакого объяснения этому совпадению нет.

Автор

Ленглендс (род. 1936) вырос в Британской Колумбии в семье, державшей магазин строительных материалов; учиться в университете его уговорил школьный учитель, а сам он собирался заниматься торговлей. С 1972 года он работал в Институте перспективных исследований в Принстоне — в том самом кабинете, который прежде занимал ЭйнштейнАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет..

Абелевская премия 2018 года — «за визионерскую программу, связавшую теорию представлений с теорией чисел».

Стоит отметить и то, чего он не обещал: программа Ленглендса — не теорема и даже не одна гипотеза, а сеть гипотез, часть из которых сформулирована точно, а часть до сих пор уточняется. За без малого шестьдесят лет она перестроила теорию чисел, теорию представлений и часть алгебраической геометрии, — и остаётся открытой.

Следующая точка: Ленинград — где выяснится, что у диофантовых уравнений вообще не может быть общего метода решения.