Бёрч и Свиннертон-Дайер: гипотеза из машинного эксперимента

Вопрос, оставленный МорделломЛуис Морделлбританский математик · 1888–1972Доказал, что рациональные точки эллиптической кривой образуют конечно порождённую группу, — и высказал гипотезу о том, что на кривых большего рода таких точек конечное число. Гипотезу доказали через шестьдесят…

Теорема Морделла говорит, что $E(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}^{r}\times T$. Кручение $T$ описано полностью. А ранг $r$ — число независимых бесконечных образующих, то есть, по сути, ответ на вопрос «сколько по существу разных рациональных решений у этого уравнения» — вычислять никто не умеет.

Нет ни формулы, ни алгоритма с гарантией. Есть методы спуска, которые часто работают и иногда зависают.

Эксперимент

Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов взялись за задачу с неожиданной стороны: они стали считать. В их распоряжении была EDSAC 2 — ламповая машина Кембриджской математической лаборатории, одна из первых в мире.

Идея эксперимента такая. Для каждого простого $p$ посчитаем число точек кривой над конечным полем $\mathbb{F}_p$:

$$N_p=\#E(\mathbb{F}_p).$$

Рассуждение на уровне здравого смысла: если у кривой много рациональных точек, то и по каждому модулю их должно быть в среднем побольше. Значит, произведение

$$\prod_{p\leqslant X}\frac{N_p}{p}$$

должно расти тем быстрее, чем больше ранг.

Машина считала, авторы строили графики — и обнаружили закономерность поразительной чёткости:

$$\prod_{p\leqslant X}\frac{N_p}{p}\ \approx\ C\,(\ln X)^{r} .$$

Показатель степени равнялся рангу.

Это, вероятно, первая крупная гипотеза чистой математики, рождённая машинным экспериментом. До того компьютер использовали для проверки гипотез; здесь он их породил.

Формулировка

Произведение по простым — это, конечно, эйлерово произведение, только для другой функции. Собрав локальные множители, определяют $L$-функцию кривой:

$$L(E,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-a_p\,p^{-s}+p^{1-2s}}\qquad (a_p=p+1-N_p),$$

с очевидными поправками для конечного числа «плохих» простых. Ряд сходится при $\mathrm{Re}\,s>3/2$.

Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера. Порядок нуля функции $L(E,s)$ в точке $s=1$ равен рангу группы $E(\mathbb{Q})$:
$$\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)=r .$$

В частности: $L(E,1)\ne0$ тогда и только тогда, когда рациональных точек конечное число.

Уточнённая версия предсказывает и коэффициент при старшем члене разложения — через регулятор, число Тэйта — Шафаревича, тамагавовы числа и порядок кручения. Формула выглядит устрашающе и проверена численно в тысячах случаев.

Тонкость, которую стоит оценить. Точка $s=1$ лежит вне области сходимости ряда. В 1965 году не было известно даже, что $L(E,s)$ вообще продолжается до $s=1$, — то есть гипотеза утверждала что-то о величине, существование которой не было доказано. Продолжение следует из модулярности (гипотезы Таниямы): у модулярной формы $L$-функция продолжается автоматически. Полностью это установили только в 2001 году. Иначе говоря, гипотеза тридцать шесть лет была даже не сформулирована корректно — и всё это время работала как ориентир.

Что доказано

Год	Результат
1977	Коутс и УайлсЭндрю Уайлсбританский математик · род. 1953Семь лет работал в одиночку и в тайне, доказал теорему Ферма — и через два месяца после объявления обнаружил в доказательстве дыру, на закрытие которой ушёл ещё год.: для кривых с комплексным умножением, если ранг положителен, то $L(E,1)=0$
1986	Гросс и Загир: формула для производной $L'(E,1)$ через высоту точки Хегнера
1988–89	Колывагин: если порядок нуля равен 0 или 1, то ранг равен ему же
2010-е	Бхаргава со соавторами: гипотеза верна для положительной доли всех эллиптических кривых

Случаи ранга $\geqslant2$ не поддаются вовсе. Институт Клэя включил гипотезу в список семи задач тысячелетия (2000).

Зачем это нужно помимо самой гипотезы

Практическое следствие уже встречалось на этой линии. Проблема конгруэнтных чисел — описать числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, — та самая, что поставил Фибоначчи в 1225 году. Она равносильна вопросу о ранге кривой $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$.

В 1983 году Джерролд Таннелл нашёл простой арифметический критерий: $n$ конгруэнтно тогда и только тогда, когда некоторое количество представлений $n$ определёнными квадратичными формами удовлетворяет явному равенству. Критерий проверяется за секунды. Но его достаточность доказана лишь в предположении гипотезы Бёрча и Свиннертон-Дайера.

Получается характерная для этой линии картина: задача, заданная при дворе Фридриха II ради развлечения, решается формулой, которую можно посчитать на калькуляторе, — и упирается в задачу тысячелетия.

Об авторах. Питер Свиннертон-Дайер (1927–2018) был не только математиком, но и администратором британской науки: возглавлял Совет по университетским субсидиям, был вице-канцлером Кембриджа, унаследовал титул баронета. Брайан Бёрч (род. 1931) — ученик Касселса, работал в Оксфорде; ему же принадлежит понятие точек Хегнера, тех самых, через которые Гросс и Загир получили свою формулу.

Задача. Для кривой $y^{2}=x^{3}-x$ посчитайте $N_p$ при $p=5$ и $p=7$ и найдите $a_p$. (Ответ: над $\mathbb{F}_5$ решений $y^2=x^3-x$ вместе с бесконечно удалённой точкой оказывается 8, значит $a_5=5+1-8=-2$; над $\mathbb{F}_7$ — 8 точек, $a_7=0$. Кривая имеет комплексное умножение, и $a_p=0$ для всех $p\equiv3\pmod4$ — проверьте это на $p=3,7,11$.)

Следующая точка: Принстон — где семнадцать страниц от руки предложат считать всё это частным случаем одного соответствия.