Теория чисел

от таблички Plimpton 322 до Уайлса

Сюжет в одном абзаце

Вавилонский писец составляет список пифагоровых троек — не для землемерия, а потому что интересно. Греки задают первый настоящий вопрос о числах («простых бесконечно много») и получают первый настоящий ответ. Дальше полторы тысячи лет накапливаются отдельные жемчужины — Диофант, куттака Ариабхаты, критерий простоты Ибн аль-Хайсама. В XVII веке тулузский судья Ферма формулирует десятки утверждений и почти ни одного не доказывает; следующее столетие уходит на то, чтобы за ним всё доказать, и делает это в основном Эйлер, попутно обнаружив, что дискретные вопросы о простых числах решаются непрерывными средствами. Гаусс (1801) превращает россыпь задач в науку с собственным языком. XIX век раздваивает её: аналитическая ветвь (Дирихле, Чебышёв, Риман) изучает простые через функции комплексного переменного, алгебраическая (Куммер, Дедекинд) — через кольца и идеалы. XX век добавляет к ним третью, вычислительную, и обнаруживает границы самого понятия вычислимости (Матиясевич). А в конце столетия три сюжета сходятся: Великая теорема Ферма падает не под ударом теории чисел, а под ударом геометрии эллиптических кривых.

Что делает эту науку особенной

Формулировки понятны школьнику, доказательства не по силам никому. Это свойство теории чисел, которого нет больше нигде. «Всякое чётное число, большее двух, есть сумма двух простых» — понятно шестикласснику, не доказано 283 года. «$x^n+y^n=z^n$ не имеет решений в натуральных числах при $n>2$» — понятно семикласснику, доказано через 357 лет аппаратом, которого во времена Ферма не существовало даже в проекте.

Отсюда две особенности линии.

Первая: разрывы между вопросом и ответом здесь измеряются веками. Евклид доказал, что если $2^n-1$ просто, то $2^{n-1}(2^n-1)$ совершенно; обратное утверждение доказал Эйлер — через две тысячи лет. Ибн аль-Хайсам сформулировал критерий простоты около 1000 года; доказал его Лагранж в 1771-м. Заметка Ферма на полях датируется примерно 1637 годом, доказательство Уайлса — 1994-м. Ни в одном другом разделе математики соавторство через века не является нормой.

Вторая: посторонние средства работают лучше собственных. Вопрос о простых числах — вопрос про целые числа, то есть про дискретное. Но самые сильные результаты о них получены анализом: эйлерово произведение, L-функции Дирихле, дзета-функция Римана, тригонометрические суммы Виноградова. А Великая теорема Ферма закрыта средствами алгебраической геометрии. Складывается ощущение, что целые числа устроены слишком сложно, чтобы их можно было понять изнутри.

«Бесполезнейшая из наук»

Годфри Харди в «Апологии математика» (1940) гордился тем, что теория чисел не имеет и не может иметь практических приложений; он считал это её нравственным преимуществом — она не годится для войны.

Он ошибся дважды и оба раза крупно.

Уже в 1940-е годы теория чисел работала в криптоанализе (Блетчли-парк), а с 1970-х она составляет основу защищённой связи: RSA (1977) — это прямое применение малой теоремы Ферма в обобщении Эйлера, а криптография на эллиптических кривых (1985) — применение той самой теории, которой закрыли теорему Ферма. Всякий раз, когда браузер показывает замочек, где-то возводится в степень по модулю большого простого числа.

Мораль этой линии — не в том, что «всё когда-нибудь пригодится». Она тоньше: никто не в состоянии предсказать, что пригодится, и Харди, знавший о числах больше почти всех, ошибся в прогнозе на собственном материале.

Три оговорки, полезные при чтении

Первая: «доказано» и «проверено» — разные вещи, и разница здесь особенно велика. Гипотеза Гольдбаха проверена для всех чётных чисел до $4\cdot10^{18}$. Это не приближает к доказательству ни на шаг: утверждения о всех числах не выводятся из проверки конечного числа случаев. Есть и обратные примеры — гипотеза, верная для всех чисел до огромной границы и неверная дальше (первое нарушение неравенства $\pi(x)<\mathrm{li}(x)$ существует, но где именно, неизвестно до сих пор; оценка Литлвуда даёт лишь, что оно есть).

Вторая: «элементарное» не значит «простое». Элементарным в теории чисел называют доказательство, не использующее комплексного анализа. Элементарное доказательство теоремы о распределении простых чисел (1948) намного труднее аналитического (1896) — и стало событием именно потому, что считалось невозможным.

Третья: почти всё здесь названо не в честь того, кто открыл. Теорема Вильсона — Ибн аль-Хайсама; числа Пелля к Пеллю отношения не имеют (Эйлер перепутал); гипотеза Таниямы — Шимуры сформулирована как вопрос и не как гипотеза; закон квадратичной взаимности первым сформулировал Эйлер, назвал Лежандр, а доказал Гаусс. Закон Стиглера («никакое научное открытие не названо именем первооткрывателя») выполняется в этой линии почти без исключений.

Открыть на карте

1

Ларса ок. 1800 г. до н. э.
Plimpton 322: тройки за тысячу лет до Пифагора
Пятнадцать строк пифагоровых троек, среди которых есть такие, что перебором их не найти: за таблицей стоит порождающее правило. Спор о том, зачем она составлена, не утихает сто лет, но одно бесспорно — здесь числа изучают ради чисел.
2

Александрия ок. 300 г. до н. э.
Евклид: простых чисел бесконечно много
Три арифметические книги «Начал»: алгоритм наибольшего общего делителя, работающий до сих пор; доказательство бесконечности простых — вопреки распространённому мнению, не от противного, а конструктивное; и половина теоремы о совершенных числах, вторую половину которой докажут через две тысячи лет.
3

Александрия ок. 240 г. до н. э.
Эратосфен: решето и размер Земли
Заведующий Александрийской библиотекой придумывает способ выписывать простые числа подряд — им пользуются до сих пор без изменений — и в те же годы измеряет окружность Земли по разнице длины теней, ошибившись на считанные проценты.
4

Александрия ок. 250 г. (датировка спорна)
Диофант: первые шаги к символам
«Арифметика» — сотни задач на уравнения в рациональных числах и первые сокращения для неизвестной: синкопированная алгебра, промежуточная стадия, продержавшаяся тринадцать веков.
5

Кусумапура (Патна) 499
Ариабхата: алгоритм куттака
«Измельчение» — метод решения уравнений в целых числах, то есть обращённый алгоритм Евклида. Индийская школа доведёт эту линию до полного решения уравнения Пелля методом чакравала — за пятьсот лет до того, как с ним справится Европа.
6

Каир ок. 1000 г.
Ибн аль-Хайсам: теорема Вильсона до Вильсона
Критерий: $(n-1)!+1$ делится на $n$ ровно тогда, когда $n$ просто. В Европе он всплывёт лишь в 1770 году как недоказанная гипотеза Уилсона, и докажет её Лагранж. Приоритет — за Каиром, с разрывом в семь с половиной веков.
7

Пиза 1225
Фибоначчи: «Книга квадратов»
Ответ на задачу, заданную при дворе Фридриха II: найти квадрат, который остаётся квадратом при прибавлении и вычитании пятёрки. Попутно доказано, что три квадрата в арифметической прогрессии не могут иметь разность, которая сама является квадратом, — а это в точности случай $n=4$ Великой теоремы Ферма, за четыре века до Ферма.
8

Тулуза письмо от 18 октября 1640
Малая теорема Ферма
Если $p$ просто и $a$ на него не делится, то $a^{p-1}-1$ делится на $p$. Доказательства Ферма, по обыкновению, не привёл. На этом утверждении, обобщённом Эйлером, стоит вся современная криптография с открытым ключом.
9

Санкт-Петербург 1732–1749
Эйлер: от числа Ферма до дзета-функции
Эйлер разрушает гипотезу Ферма одним делителем 641, доказывает теорему о двух квадратах после семи лет попыток и находит тождество, связывающее сумму по всем числам с произведением по всем простым. Последнее — вторжение анализа в теорию чисел, из которого выйдет всё дальнейшее.
10

Москва 7 июня 1742
Гольдбах пишет Эйлеру
Письмо помечено «Moscou»: гипотеза сформулирована в Москве, а адресат — петербургский академик, живущий в Берлине. В оригинале она стоит на полях и в другой форме; привычный вид про чётные числа принадлежит ответу Эйлера. Через 283 года всё ещё не доказана.
11

Брауншвейг написана 1796–98, издана в 1801
«Disquisitiones Arithmeticae»
Книга, написанная в двадцать один год: обозначение сравнения, первая полная формулировка основной теоремы арифметики, доказательство закона квадратичной взаимности и теория квадратичных форм. До неё теория чисел — коллекция задач; после — дисциплина с собственным языком.
12

Берлин 1837
Дирихле: простые в прогрессиях
В прогрессии $a$, $a+d$, $a+2d$, … бесконечно много простых, если $a$ и $d$ взаимно просты. Доказательство потребовало изобрести характеры и L-функции — и этот день считают днём рождения аналитической теории чисел.
13

Париж 1844
Лиувилль: первые трансцендентные числа
До этого момента не было доказано, что трансцендентные числа вообще существуют. Лиувилль показывает, что алгебраические числа плохо приближаются дробями, — и предъявляет число, которое приближается слишком хорошо, чтобы быть алгебраическим.
14

Бреслау (Вроцлав) 1846–1847
Куммер: идеальные числа
Идеальные числа: единственность разложения приходится спасать — рождение алгебраической теории чисел

Пытаясь доказать Великую теорему Ферма, Куммер обнаруживает, что однозначность разложения на множители нарушается, — и придумывает недостающие «идеальные» множители. Из этой заплатки вырастет вся современная алгебра.
15

Санкт-Петербург 1850–1852
Чебышёв: первые строгие оценки
Постулат Бертрана доказан, а число простых до $x$ впервые строго зажато между $0{,}92\,x/\ln x$ и $1{,}11\,x/\ln x$. Первые количественные результаты о простых со времён Евклида — и начало петербургской школы, которая будет определять русскую математику сто лет.
16

Берлин 1859
Восемь страниц о нулях дзета-функции
Единственная работа Римана по теории чисел — восемь страниц — связывает распределение простых чисел с нулями дзета-функции в комплексной области. Гипотеза о том, где эти нули лежат, высказана мимоходом, с оговоркой, что для дела она не нужна, и остаётся главной нерешённой задачей математики.
17

Брауншвейг 1871
Идеалы: множество как объект
Идеал вместо «идеального числа»: множество становится объектом, и теория чисел получает современный язык

Дедекинд превращает «идеальные числа» Куммера в идеалы — множества, замкнутые относительно операций. Первый случай, когда алгебраический объект есть множество со структурой.
18

Париж 1876
Люка: рекордное простое — вручную
Эдуард Люка доказывает простоту числа $2^{127}-1$ — тридцать девять цифр — придуманным им же тестом, без единой вычислительной машины. Рекорд продержится 75 лет. Тот же тест сегодня находит рекордные простые в проекте, где участвуют десятки тысяч компьютеров.
19

Бордо 1896; Лувен — независимо и одновременно
Адамар и Валле-Пуссен: теорема о распределении простых
Гипотеза, высказанная пятнадцатилетним Гауссом по таблицам логарифмов, доказана через сто четыре года — двумя людьми в двух странах, одновременно и без единого слова спора о приоритете. Ключ — доказательство того, что у дзета-функции нет нулей на прямой $\mathrm{Re}\,s=1$.
20

Мадрас (Ченнаи) отправлено 16 января 1913
Письмо из Мадраса
Конторский клерк без высшего образования посылает в Кембридж девять страниц формул без доказательств. Харди назовёт полученное «единственным романтическим событием» своей жизни, а из последовавшего сотрудничества выйдет круговой метод — один из двух главных инструментов аналитической теории чисел.
21

Христиания 1919
Брун: решето и константа близнецов
Сумма обратных величин простых-близнецов сходится — в отличие от суммы по всем простым. Значит, близнецов существенно меньше, и вопрос об их бесконечности этим способом не решается. Заодно впервые после Эратосфена решето начинает давать теоремы.
22

Манчестер 1922
Морделл: рациональные точки образуют группу с конечным числом образующих
Метод секущих Диофанта доведён до конца: все рациональные точки эллиптической кривой получаются из конечного числа исходных. А в конце той же статьи брошено вскользь замечание, которое станет гипотезой Морделла и продержится шестьдесят один год.
23

Одесса 1922; опубликовано в 1926
Чеботарёв: теорема о плотности
Обобщение теоремы Дирихле на произвольные расширения полей: простые числа распределяются по классам сопряжённости группы Галуа строго пропорционально их размерам. Артин признавался, что доказал свой закон взаимности «с помощью трюка Чеботарёва».
24

Москва 1934
Гельфонд: седьмая проблема Гильберта
Число $2^{\sqrt2}$ трансцендентно, и вместе с ним — целый класс степеней. Гильберт публично считал эту задачу более трудной, чем гипотеза Римана и теорема Ферма, и полагал, что никто в зале до её решения не доживёт. Он ошибся на пятнадцать лет.
25

Москва 1937
Виноградов: тернарная проблема Гольдбаха
Всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых. Метод тригонометрических сумм позволил обойтись без недоказанной гипотезы Римана — и стал вторым по значению инструментом аналитической теории чисел после дзета-функции. Вопрос задан в Москве в 1742-м, почти-ответ получен там же через 195 лет.
26

Санкт-Петербург Ленинград, 1941
Линник: большое решето
Двухстраничная заметка, вводящая приём, на котором сегодня держится вся аналитическая теория чисел: от теоремы Бомбьери — Виноградова до ограниченных промежутков между простыми и теоремы Грина — Тао. Год и город говорят сами за себя.
27

Принстон 1948
Элементарное доказательство — и ссора
Теорему о распределении простых чисел доказывают без комплексного анализа — то, что Харди считал невозможным в принципе. Следом вспыхивает приоритетный спор, испортивший отношения двух математиков на всю жизнь, и обе стороны в нём по-своему правы.
28

Токио сентябрь 1955
Токио — Никко: гипотеза Таниямы
Двадцативосьмилетний Танияма ставит на симпозиуме вопрос: не является ли всякая эллиптическая кривая модулярной? Связь между счётом точек на кубике и коэффициентами модулярной формы кажется невероятной. Через сорок лет из неё выведут Великую теорему Ферма.
29

Кембридж 1960-е; окончательная формулировка — 1965
Бёрч и Свиннертон-Дайер: гипотеза из машинного эксперимента
Два кембриджских математика считают точки на эллиптических кривых на ламповой ЭВМ, смотрят на графики и высказывают гипотезу о величине, про которую тогда не было даже известно, что она определена. Сегодня это одна из семи задач тысячелетия.
30

Принстон письмо Вейлю — январь 1967
Ленглендс: письмо Вейлю
Семнадцать страниц от руки с предложением связать представления групп Галуа с автоморфными формами — и с оговоркой, что если это чепуха, то у адресата под рукой есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой объединяющей теорией математики.
31

Санкт-Петербург 1970
Десятая проблема Гильберта: ответ — «нет»
Двадцатидвухлетний ленинградский аспирант замыкает многолетнюю цепочку и доказывает: универсального алгоритма, определяющего разрешимость уравнений в целых числах, не существует. Множества решений диофантовых уравнений — в точности перечислимые множества, и поэтому гёделевская неразрешимость обнаруживается в самом классическом объекте математики.
32

Кембридж (Массачусетс) 1977
RSA: теория чисел уходит в каждый смартфон
Малая теорема Ферма в обобщении Эйлера становится инфраструктурой: «бесполезнейшая из наук» шифрует всё

Малая теорема Ферма в обобщении Эйлера превращается в шифр, у которого ключ шифрования можно публиковать. Харди в 1940 году гордился тем, что теория чисел не имеет применений; через тридцать семь лет она стала инфраструктурой цивилизации.
33

Вупперталь 1983
Фальтингс: гипотеза Морделла доказана
У кривой рода не меньше двух рациональных точек конечное число. Отсюда, в частности: у уравнения Ферма при каждом показателе решений конечное число — не ноль, но конечное. Двадцативосьмилетний автор доказал заодно ещё две крупные гипотезы, о которых его не просили.
34

Сиэтл 1985, независимо: доклад Миллера на CRYPTO в августе (Йорктаун-Хайтс) и работа Коблица (Сиэтл)
Коблиц и Миллер: секущая Диофанта в каждом рукопожатии
Групповой закон Диофанта становится стандартом связи

Сложение точек эллиптической кривой — та самая секущая, которой Диофант искал рациональные решения, — оказалось группой, где дискретное логарифмирование труднее, чем в остатках по модулю. Ключ выходит короче в двенадцать раз при той же стойкости, и сегодня на этом стоит почти всякое защищённое соединение.
35

Принстон 1994–1995
Уайлс: закрытие поля
Заметка Ферма на полях Диофанта доказана через 358 лет — методами, которых не существовало ни при Ферма, ни при Куммере. Замыкает сразу два сюжета линии.
36

Лос-Анджелес 2004
Грин — Тао: прогрессии в простых
Среди простых чисел есть арифметические прогрессии любой наперёд заданной длины. Доказательство обходит главное препятствие — то, что простых «слишком мало», — приёмом переноса: теорему о плотных множествах применяют внутри специально построенного псевдослучайного окружения.
37

Дарем (Нью-Гэмпшир) 17 апреля 2013
Чжан Итан: промежутки между простыми ограничены
Существует бесконечно много пар простых, отличающихся не больше чем на 70 миллионов. Первое в истории безусловное продвижение к гипотезе о близнецах — и сделано человеком, полтора десятилетия не имевшим научной должности.