Гельфонд: седьмая проблема Гильберта

Задача

Седьмая проблема из списка Гильберта 1900 года:

Пусть $\alpha$ — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а $\beta$ — алгебраическое иррациональное. Трансцендентно ли $\alpha^{\beta}$?

Модельные примеры: $2^{\sqrt2}$ и $e^{\pi}$.

Второй пример объясняется не сразу. Из формулы Эйлера $e^{i\pi}=-1$ следует

$$e^{\pi}=\left(e^{i\pi}\right)^{-i}=(-1)^{-i},$$

то есть $e^{\pi}$ имеет требуемый вид $\alpha^{\beta}$ при $\alpha=-1$ (алгебраическое) и $\beta=-i$ (алгебраическое иррациональное). Число $e^{\pi}\approx23{,}1407$ иногда называют константой Гельфонда.

Контекст задачи: к 1900 году было доказано, что $e$ трансцендентно (ЭрмитШарль Эрмитфранцузский математик · 1822–1901Доказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом., 1873) и что $\pi$ трансцендентно (Линдеман, 1882 — и отсюда невозможность квадратуры круга). Но общих методов не было; каждое число приходилось брать штурмом.

Оценка Гильберта. В лекции 1919 года он, по свидетельству слушателей, сказал примерно следующее: гипотезу РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики., возможно, увидят доказанной самые молодые из присутствующих; теорему ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. — может быть, он сам; а вопрос о трансцендентности $2^{\sqrt2}$, вероятно, не решит никто из живущих.

Дальнейшее показало, что задача была не самой трудной, а самой недооценённой: её закрыли через пятнадцать лет, тогда как теорема Ферма продержалась ещё шестьдесят, а гипотеза Римана не решена до сих пор. Хороший урок о том, чего стоят прогнозы даже очень крупных математиков — прямая рифма с ошибкой Харди насчёт бесполезности теории чисел.

Решение

Александр Осипович Гельфонд (1906–1968) шёл к ответу в три приёма.

1929. Он доказывает трансцендентность $e^{\pi}$ — то есть частный случай, где показатель мнимый квадратичный. Метод: интерполяционные ряды и оценки роста целых функций, принимающих целые значения в точках решётки.

1930. Родион Кузьмин распространяет метод на вещественные квадратичные показатели — и получает трансцендентность $2^{\sqrt2}$, того самого модельного примера.

1934. Гельфонд доказывает общий случай, полностью закрывая седьмую проблему. Практически одновременно и независимо это делает Теодор Шнайдер в Германии; теорема носит имя обоих.

Теорема Гельфонда — Шнайдера. Если $\alpha$ и $\beta$ алгебраические, $\alpha\ne0,1$, а $\beta$ иррационально, то $\alpha^{\beta}$ трансцендентно.

Эквивалентная и более удобная формулировка: если $\alpha,\beta$ алгебраические и отличны от 0 и 1, то $\dfrac{\ln\alpha}{\ln\beta}$ либо рационально, либо трансцендентно — «промежуточного», алгебраического иррационального значения не бывает.

Схема доказательства (одна из версий). Предположим, что $\gamma=\alpha^{\beta}$ алгебраично. Строим вспомогательную целую функцию вида

$$F(z)=\sum_{i,j} c_{ij}\,\alpha^{iz}\gamma^{jz},$$

подбирая целые коэффициенты $c_{ij}$ так, чтобы $F$ и её производные обращались в нуль в достаточном числе целых точек (это система линейных уравнений, и решение существует по принципу ящиков). Затем показываем, что $F$ не может расти слишком быстро; с другой стороны, её значения в целых точках — алгебраические числа, и если они не равны нулю, то не могут быть слишком малы (фундаментальное неравенство ЛиувилляЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их.). Сопоставление даёт противоречие.

Приём «построить вспомогательную функцию, зажать её между двумя оценками» восходит к Эрмиту и остаётся главным инструментом теории трансцендентных чисел до сих пор.

Что из этого выросло

Теория Бейкера. В 1966 году Алан Бейкер обобщил результат на линейные формы от логарифмов: если $\alpha_i$ алгебраические, то величина $\beta_1\ln\alpha_1+\cdots+\beta_n\ln\alpha_n$, если не равна нулю, отделена от нуля явной оценкой снизу.

Слово «явной» — ключевое. Оценки Гельфонда были неэффективны: они доказывали, что чего-то не бывает, но не давали границ. Бейкер сделал их эффективными, и последствия оказались огромными:

• решена проблема ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. о мнимых квадратичных полях с малым числом классов;
• появились явные границы для решений широкого класса диофантовых уравнений (уравнение Туэ, эллиптические уравнения) — то есть их стало возможно решать полностью, перебором до вычисленной границы;
• оценки для наибольшего простого делителя значений многочлена.

Филдсовская медаль 1970 года.

Что до сих пор неизвестно

Чтобы был виден масштаб незнания:

• трансцендентность $2^{e}$, $\pi^{e}$, $\pi^{\pi}$, $e^{e}$ — не доказана;
• про постоянную ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. — Маскерони $\gamma=0{,}5772\ldots$ не доказана даже иррациональность;
• не доказана иррациональность $\zeta(5)$ (для $\zeta(3)$ её доказал Апери в 1978-м, и это был сюрприз);
• неизвестно, алгебраически независимы ли $e$ и $\pi$; известно лишь, что хотя бы одно из чисел $e+\pi$, $e\pi$ трансцендентно (иначе $e$ и $\pi$ были бы корнями одного квадратного уравнения с алгебраическими коэффициентами).

Общая гипотеза, из которой следовало бы почти всё перечисленное, — гипотеза Шануэля (1960-е), и она не доказана даже частично.

Задача. Докажите, что хотя бы одно из чисел $e+\pi$ и $e\pi$ трансцендентно.
(Указание: если бы оба были алгебраическими, то $e$ и $\pi$ были бы корнями многочлена $t^{2}-(e+\pi)t+e\pi$ с алгебраическими коэффициентами, а корни такого многочлена алгебраичны — противоречие с теоремой Линдемана.)

Следующая точка: Москва же — где к простым числам применят тригонометрические суммы и почти закроют вопрос, заданный двумя веками раньше в этом же городе.