Виноградов: тернарная проблема Гольдбаха

Что было до

Гипотеза Гольдбаха в тернарной форме — «всякое нечётное число, большее 5, есть сумма трёх простых» — двести лет не поддавалась никак.

Первый серьёзный подступ сделали ХардиГодфри Харолд Хардибританский математик · 1877–1947Гордился тем, что не сделал ничего полезного, — и написал главную формулу популяционной генетики; главным своим вкладом в науку называл открытие Рамануджана. и Литлвуд (1923). Их круговой метод (тот же, что дал асимптотику разбиений в работе с Рамануджаном) выглядит так. Положим

$$S(\alpha)=\sum_{p\leqslant N}e^{2\pi i p\alpha}.$$

Тогда число представлений $N=p_1+p_2+p_3$ есть в точности

$$r_3(N)=\int_{0}^{1}S(\alpha)^{3}\,e^{-2\pi i N\alpha}\,d\alpha,$$

потому что интеграл от $e^{2\pi i m\alpha}$ по периоду равен 1 при $m=0$ и 0 иначе. Формула точна; вся трудность в том, чтобы её оценить.

Единичный отрезок разбивают на большие дуги — маленькие окрестности рациональных точек $a/q$ с малыми знаменателями, — и малые дуги, всё остальное. На больших дугах $S(\alpha)$ велика, и её вклад считается явно; ответ имеет вид

$$r_3(N)\sim\mathfrak{S}(N)\,\frac{N^{2}}{2\ln^{3}N},$$

где $\mathfrak{S}$ — «особый ряд», поправка на арифметику (для чётных $N$ он обращается в нуль, что и отражает невозможность разложить чётное число на три нечётных простых).

На малых дугах нужно доказать, что $|S(\alpha)|$ мала. Вот здесь Харди и Литлвуд застряли: они смогли это сделать только в предположении обобщённой гипотезы РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.. Результат был условным — то есть, строго говоря, не результатом.

Что сделал Виноградов

Иван Матвеевич Виноградов (1891–1983) в 1937 году научился оценивать $S(\alpha)$ на малых дугах безусловно.

Его метод — метод тригонометрических сумм, и центральная идея в том, чтобы избавиться от простых чисел как таковых. Сумма по простым переписывается через тождество решета (сегодня — тождество Вона) в виде комбинации двойных сумм вида

$$\sum_{m}\sum_{n}a_m b_n\, e^{2\pi i mn\alpha}.$$

Такие суммы (их называют суммами типа I и типа II) оцениваются уже без всякого знания о простых — чисто аналитически, неравенством КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и оценкой геометрических прогрессий. Простые входят только через коэффициенты $a_m$, о которых достаточно знать, что они ограничены.

Приём оказался общим. Сегодня «оценки сумм ВейляГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения.» и «билинейные формы» — стандартный инструмент; на них стоят и теорема Бомбьери — Виноградова, и работы о простых в коротких промежутках, и большая часть современной аналитической теории чисел.

Теорема Виноградова (1937). Всякое достаточно большое нечётное число представимо суммой трёх простых.

Слово «достаточно»

Оговорка была не формальной, и стоит понять, почему.

Метод доказывает: существует $N_0$ такое, что для всех нечётных $N>N_0$ утверждение верно. Но само $N_0$ метод не даёт — оно возникает из цепочки неявных оценок. Ученик Виноградова Бороздкин в 1956 году вычислил его явно, и получилось

$$N_0\approx 3^{3^{15}}\approx 10^{6\,846\,168}.$$

Это число не имеет отношения к вычислимости: перебрать все нечётные числа до него нельзя ни на каком мыслимом компьютере. Так что теорема Виноградова, будучи безусловной, оставляла бесконечно большой непроверенный участок.

Дальше граница снижалась: $10^{43\,000}$ (Чэнь и Ван, 1989), $e^{3100}\approx10^{1346}$ (Лю и Ван, 2002). И в 2013 году Харальд Хельфготт довёл её до $10^{27}$, а остаток покрыл прямым вычислением — то есть закрыл тернарную проблему Гольдбаха полностью, без всяких оговорок. От письма Гольдбаха до этого момента — 271 год.

Бинарная проблема — «всякое чётное число есть сумма двух простых» — остаётся открытой, и, как объяснено в точке о Гольдбахе, не по недостатку усердия: методу не хватает ровно одного слагаемого.

Человек и институт

Виноградов возглавлял Математический институт имени Стеклова с 1934 года и до самой смерти в 1983-м — почти полвека, с коротким перерывом в военные годы. Это, вероятно, самое долгое директорство в истории науки. Его собственные работы — метод тригонометрических сумм, оценки сумм Вейля, распределение дробных долей — составляют классику предмета и переиздаются до сих пор.

При этом честность требует сказать и другое: кадровая политика Стекловского института при Виноградове хорошо документирована в мемуарной литературе как открыто антисемитская, и многие сильные математики не смогли там работать по этой причине. Обе стороны — научная и административная — принадлежат одному человеку, и умалчивать вторую было бы неверно.

Задача. Объясните, почему особый ряд $\mathfrak{S}(N)$ обращается в нуль для чётных $N$, и почему поэтому круговой метод в тернарной задаче ничего не говорит о чётных числах.
(Указание: три нечётных простых в сумме дают нечётное число; вклад по модулю 2 обнуляет всё произведение. Формально $\mathfrak{S}(N)=\prod_p\left(1+\frac{c_p(N)}{(p-1)^{3}}\right)$, и множитель при $p=2$ равен нулю при чётном $N$.)

Следующая точка: Ленинград, 1941 год — где придумают решето, ставшее рабочим инструментом всей дальнейшей теории простых чисел.