Карта → событие
Гольдбах пишет Эйлеру
Кто писал
Христиан Гольдбах (1690–1764) родился в Кёнигсберге, много лет странствовал по Европе, знакомясь с ЛейбницемГотфрид Вильгельм ЛейбницПридумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем»., Николаем БернуллиБернуллиВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. и де МуавромАбрахам де МуаврПервым вывел кривую нормального распределения — и всю жизнь зарабатывал консультациями в лондонской кофейне, потому что иностранцу кафедры не давали., и в 1725 году оказался в новооткрытой Петербургской академии наук — её первым конференц-секретарём. Он же в 1727-м встретил приехавшего Эйлера и на всю жизнь остался его корреспондентом: сохранилось около двухсот писем.
Математиком в профессиональном смысле он не был. Его роль другая и, для этой линии, едва ли не более важная: он читал ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. и не давал Эйлеру покоя. Именно Гольдбах в 1729 году спросил у него про числа $2^{2^n}+1$ — и через три года получил делитель 641.
С 1728 года Гольдбах был воспитателем малолетнего Петра II, вместе с двором переехал в Москву, а позже перешёл в Коллегию иностранных дел, где занимался шифрами. Отсюда и московская помета на письме.
Само письмо
Письмо от 7 июня 1742 года отправлено из Москвы Эйлеру, который к тому времени служил уже в Берлине. Основной текст посвящён другому; интересующее нас утверждение приписано на полях:
Всякое число, большее двух, есть сумма трёх простых чисел.
Здесь нужно два уточнения, без которых фраза непонятна.
Первое: Гольдбах считал единицу простым числом. Такая конвенция была обычной до XIX века. При ней, например, $4=1+1+2$, и утверждение осмысленно для всех чисел, а не только для нечётных.
Второе: привычная формулировка принадлежит не Гольдбаху, а Эйлеру. В ответе от 30 июня 1742 года Эйлер пишет, что сводит утверждение к более простому:
Всякое чётное число есть сумма двух простых.
И добавляет фразу, ставшую знаменитой:
Я считаю это совершенно достоверной теоремой, хотя и не могу её доказать.
Эквивалентность нетрудно увидеть: если всякое чётное $2n$ есть $p+q$, то всякое нечётное $N>5$ есть $3+(N-3)$, где $N-3$ чётно, — итого три простых. Обратный переход требует чуть больше аккуратности, но тоже несложен.
Так что на карте эта точка отмечает не «формулировку гипотезы Гольдбаха» в нынешнем виде, а обмен двумя письмами, из которого она возникла: вопрос из Москвы, огранка из Берлина.
Почему это трудно
Полезно понять, чем бинарная задача отличается от тернарной, — потому что вторая решена, а первая нет, и разница не в сложности вычислений.
Эвристика такая. Простых чисел до $N$ примерно $N/\ln N$. Если бы они были разбросаны случайно, число представлений $2n=p+q$ было бы порядка
$$r_2(2n)\;\sim\;\mathfrak{S}(2n)\cdot\frac{2n}{\ln^{2}(2n)},$$
где $\mathfrak{S}$ — «особый ряд», поправка на делимости (например, у чисел, кратных 3, представлений вдвое больше). Величина огромна: для $2n=10^{6}$ это тысячи представлений. Казалось бы, запас надёжен.
Но в аналитическом методе (круговом методе ХардиГодфри Харолд ХардиГордился тем, что не сделал ничего полезного, — и написал главную формулу популяционной генетики; главным своим вкладом в науку называл открытие Рамануджана. — Литлвуда) сумма по «большим дугам» даёт как раз эту главную величину, а сумму по «малым дугам» надо оценить сверху — и для двух слагаемых имеющиеся оценки дают погрешность того же порядка, что и главный член. Для трёх слагаемых лишняя степень запаса всё решает: погрешность становится меньше главного члена, и Виноградов в 1937 году доводит дело до конца.
Иначе говоря: бинарной задаче не хватает одного простого числа, и никакой известный метод этой нехватки не восполняет.
Что доказано
| Год | Результат |
|---|---|
| 1919 | БрунВигго БрунПревратил решето Эратосфена из способа выписывать простые в способ их считать — и доказал первое содержательное утверждение о простых близнецах: сумма обратных к ним сходится.: всякое достаточно большое чётное число есть сумма двух чисел, у каждого из которых не более 9 простых множителей |
| 1937 | ВиноградовИван Матвеевич ВиноградовПридумал метод тригонометрических сумм и доказал им тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел — впервые взяв аддитивную задачу о простых без всяких недоказанных гипотез.: всякое достаточно большое нечётное число — сумма трёх простых |
| 1966 | Чэнь Цзинжунь: всякое достаточно большое чётное число есть $p+m$, где $p$ простое, а $m$ — простое или произведение двух простых |
| 1975 | Монтгомери и Воган: чётных чисел, не представимых суммой двух простых, «исчезающе мало» (плотность нуль с явной оценкой) |
| 2013 | Хельфготт: тернарная гипотеза доказана полностью, без оговорки «достаточно большое» |
| 2013 | проверка перебором до $4\cdot10^{18}$ (Оливейра-и-Силва) |
Теорема Чэня выглядит обидно близкой к цели: заменить «простое или произведение двух простых» на «простое» — и всё. Но именно этот шаг решётные методы сделать не могут в принципе: у них есть так называемый паритетный барьер (СельбергАтле СельбергВ оккупированной Норвегии в одиночку доказал, что положительная доля нулей дзета-функции лежит на критической прямой; потом получил элементарное доказательство теоремы о простых числах — и рассорился из-за…), из-за которого решето не отличает числа с чётным числом простых множителей от чисел с нечётным. Обойти его пока не удалось никому.
Отдельно стоит отметить работу Хельфготта. Замкнуть «достаточно большое» — это не формальность: у Виноградова граница была невыразимо огромна (в оценке Бороздкина — порядка $10^{6\,846\,168}$), и никакого перебора до неё быть не могло. Хельфготт снизил границу до $10^{27}$ и покрыл остаток вычислением. Задача, поставленная в Москве в 1742 году, в тернарном варианте закрыта через 271 год.
Осторожно с проверками
Тот факт, что гипотеза проверена до $4\cdot10^{18}$, не доказывает ничего, и это стоит проговорить на примере из той же линии.
ГауссКарл Фридрих Гаусс«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. предполагал, что $\pi(x)<\mathrm{li}(x)$ всегда, — и неравенство выполняется для всех $x$, до которых кто-либо считал. В 1914 году Литлвуд доказал, что оно бесконечно много раз нарушается. Где именно происходит первое нарушение, не известно до сих пор; верхняя оценка (число Скьюза, в первой версии $10^{10^{10^{34}}}$) с тех пор снижена до величин порядка $10^{316}$, но и это на много порядков дальше любого перебора.
Мораль для школьника: вычислительная проверка — источник гипотез, а не доказательств.
Следующая точка: Брауншвейг — где двадцатилетний юноша превратит россыпь разрозненных фактов в науку.