«Disquisitiones Arithmeticae»

Книга

ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. писал «Disquisitiones Arithmeticae» в Брауншвейге в 1796–1798 годах, а вышла она в Лейпциге в 1801-м — автору было двадцать четыре. Семь разделов, около 350 страниц, латынь.

Отзыв, который часто приводят, принадлежит КронекеруЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни…: он назвал книгу «книгой всех книг». ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. возил её с собой в путешествиях и, по свидетельству современников, спал, положив под подушку. ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге., КуммерЭрнст Куммернемецкий математик · 1810–1893Обнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть., Эйзенштейн, ЯкобиКарл Густав Якобинемецкий математик · 1804–1851Соперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар. учились по ней; целые направления теории чисел XIX века — это разработка отдельных её параграфов.

Сравнения: обозначение как открытие

Первый же раздел вводит запись

$$a\equiv b \pmod{n},$$

и сам знак $\equiv$ придуман Гауссом. Кажется мелочью — но именно с него начинается современная теория чисел.

Смысл в том, что сравнения можно складывать, вычитать и умножать как равенства. Утверждение «остаток от деления $a$ на $n$ такой-то» — про конкретное вычисление; утверждение «$a\equiv b\pmod n$» — про отношение, у которого есть алгебра. Множество вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ становится объектом, а не описанием, — и через сто лет из этого вырастет вся абстрактная алгебра.

Хорошая иллюстрация мощи записи — школьные признаки делимости, которые все выводятся одной строкой. Так как $10\equiv1\pmod 9$, то $10^{k}\equiv1$, и всякое число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9. А так как $10\equiv-1\pmod{11}$, то $10^{k}\equiv(-1)^{k}$, откуда признак делимости на 11 по знакопеременной сумме цифр.

Основная теорема арифметики

В статье 16 Гаусс формулирует и доказывает:

Всякое натуральное число, большее единицы, разлагается в произведение простых единственным образом с точностью до порядка сомножителей.

Мы уже отмечали в точке о Евклиде, что у греков этого утверждения нет: есть лемма, из которой оно выводится. Две тысячи лет единственность считали самоочевидной. Гаусс первым увидел, что это теорема — и её отсутствие в общем случае через полвека станет главной драмой алгебраической теории чисел, когда Куммер обнаружит кольца, где разложение неоднозначно.

Золотая теорема

Центр книги — закон квадратичной взаимности. Задача: для данного простого $p$ понять, какие числа являются квадратами по модулю $p$.

Введём символ ЛежандраАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс.:

$$\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}+1,&\text{если } a \text{ — квадрат по модулю } p,\\ -1,&\text{если нет},\\ 0,&\text{если } p\mid a.\end{cases}$$

Закон взаимности. Для различных нечётных простых $p,q$
$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}.$$
Дополнения: $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ и $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}$.

Смысл словами: вопросы «является ли $p$ квадратом по модулю $q$?» и «является ли $q$ квадратом по модулю $p$?» имеют один и тот же ответ — кроме случая, когда оба простых имеют вид $4k+3$, и тогда ответы противоположны.

Утверждение поразительное. Между «квадраты по модулю 7» и «квадраты по модулю 11» нет никакой видимой связи: это разные конечные множества, полученные разными вычислениями. Закон говорит, что связь есть, и она жёсткая.

Работающий пример. Является ли 5 квадратом по модулю 103?

Оба простых, но $5\equiv1\pmod4$, значит знак в законе положительный:

$$\left(\frac{5}{103}\right)=\left(\frac{103}{5}\right)=\left(\frac{3}{5}\right).$$

Квадраты по модулю 5 — это $1$ и $4$; тройки среди них нет, значит $\left(\frac{3}{5}\right)=-1$. Ответ: 5 не является квадратом по модулю 103 — и мы получили его, не проверив ни одного из 102 вычетов.

Первое доказательство Гаусс нашёл 8 апреля 1796 года, в восемнадцать лет, и назвал теорему theorema aureum, золотой. За жизнь он дал ей восемь различных доказательств (шесть опубликованных и два в бумагах) — не из тщеславия, а потому что искал такое, которое обобщалось бы на высшие степени. Обобщения дадут Эйзенштейн (кубический и биквадратичный законы), а общий ответ — АртинЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор. (1927), опираясь на теорему Чеботарёва. Сегодня закон взаимности Артина — центральная теорема теории полей классов, и вся программа ЛенглендсаРоберт Ленглендсамерикано-канадский математик · род. 1936Написал от руки семнадцать страниц с предположением о связи теории чисел и анализа — и с оговоркой, что если это чепуха, у адресата есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой… выросла из попытки обобщить её на неабелев случай.

Формы

Пятый раздел, самый длинный, посвящён бинарным квадратичным формам $ax^{2}+bxy+cy^{2}$. Вопрос: какие числа представимы данной формой?

Гаусс вводит эквивалентность форм, дискриминант $D=b^{2}-4ac$, приведённые формы и — главное — композицию: операцию, превращающую классы форм данного дискриминанта в конечную коммутативную группу. Число элементов в ней называется числом классов $h(D)$.

Это первая в истории явно построенная абстрактная группа, за тридцать лет до того, как понятие группы будет определено. Позже Дедекинд переведёт всё это на язык идеалов в кольцах целых алгебраических чисел, и композиция форм окажется умножением классов идеалов.

Из этого раздела растёт «гауссова проблема числа классов»: он предположил, что мнимых квадратичных полей с $h=1$ ровно девять ($D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$). Доказано это было только в 1966–67 годах (Бейкер и Старк, а с пробелом — Хегнер в 1952-м, которому не поверили при жизни). Побочный эффект — знаменитое «почти целое» число

$$e^{\pi\sqrt{163}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}99999999999925\ldots$$

— оно почти целое именно потому, что $h(-163)=1$.

Семнадцатиугольник

Седьмой раздел — о делении круга. Гаусс доказывает, что правильный $n$-угольник строится циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда

$$n=2^{k}p_1\cdots p_m,$$

где $p_i$ — различные простые ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.. Отсюда строятся 17-, 257- и 65537-угольники, а 7-, 9-, 11-, 13-угольники — нет. (Достаточность доказал Гаусс, необходимость строго — Ванцель в 1837-м.)

Первая запись в его математическом дневнике датирована 30 марта 1796 года и посвящена именно построению 17-угольника; по преданию, именно этот результат заставил девятнадцатилетнего Гаусса выбрать математику, а не филологию. Он просил высечь семнадцатиугольник на своём надгробии; каменщик отказался, сказав, что от круга его будет не отличить.

Сам дневник (Tagebuch) — 19 листов со 146 короткими записями за 1796–1814 годы — был найден только в 1898 году. Из него выяснилось, что многие результаты, приписывавшиеся другим, Гаусс получил раньше и не опубликовал: эллиптические функции, неевклидова геометрия, метод наименьших квадратов. Его девиз — pauca sed matura, «немногое, но зрелое» — обошёлся математике XIX века дорого.

Ещё одна брауншвейгская деталь

В 1792 году пятнадцатилетний Гаусс, разглядывая таблицу простых чисел в подаренной книге логарифмов, заметил, что их плотность убывает примерно как $1/\ln x$, то есть

$$\pi(x)\approx\int_2^{x}\frac{dt}{\ln t}=\mathrm{li}(x).$$

Он не опубликовал и этого; сообщил в письме астроному Энке в 1849 году. Гипотеза ждала доказательства до 1896 года — до АдамараЖак Адамарфранцузский математик · 1865–1963Доказал теорему о распределении простых чисел — одновременно и независимо с Валле-Пуссеном, без единого слова спора о приоритете. Прожил девяносто семь лет и написал книгу о том, как математики думают. и Валле-ПуссенаШарль Жан де ла Валле-Пуссенбельгийский математик · 1866–1962Доказал теорему о распределении простых чисел одновременно с Адамаром и независимо от него, а через три года первым получил оценку остаточного члена — то есть не только «сколько», но и «с какой точностью»..

Задача. Пользуясь законом взаимности, выясните, является ли 7 квадратом по модулю 43.
(Ответ: оба простых имеют вид $4k+3$ ($7=4\cdot1+3$, $43=4\cdot10+3$), значит $\left(\frac{7}{43}\right)=-\left(\frac{43}{7}\right)=-\left(\frac{1}{7}\right)=-1$. Не является.)

Следующая точка: Берлин — где к простым числам впервые применят анализ систематически, и родится целая ветвь предмета.