Куммер: идеальные числа

Исправление географии

В Приложении Б я указал Берлин — это моя ошибка. Куммер был профессором в Бреслау (ныне Вроцлав) с 1842 по 1855 год; кафедру ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. в Берлине он занял только в 1855-м.

Работа об идеальных числах — бреславская. Тонкость в том, что первое сообщение о ней Дирихле по просьбе Куммера доложил Берлинской академии (1846), а печаталась она в берлинском журнале Крелле (1847). Так что Берлин в сюжете присутствует как место оглашения, но не как место работы.

Первое документальное свидетельство — письмо Куммера КронекеруЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни… от 18 октября 1845 года, где видно, что автор только что совершил прорыв.

Задача

Великая теорема Ферма для простого показателя $p$:

$$x^{p}+y^{p}=z^{p}$$

не имеет решений в ненулевых целых числах.

Заманчивый подход. Пусть $\zeta=e^{2\pi i/p}$ — первообразный корень из единицы. Тогда левая часть разлагается на линейные множители:

$$x^{p}+y^{p}=\prod_{k=0}^{p-1}\left(x+\zeta^{k}y\right).$$

Проверим для $p=3$: $(x+y)(x+\zeta y)(x+\zeta^2 y)$. Раскрывая и пользуясь $1+\zeta+\zeta^2=0$, $\zeta^3=1$, получаем $x^3+y^3$. $\checkmark$

Рассуждение. Произведение $p$ множителей равно $z^{p}$ — точной $p$-й степени. Если множители попарно взаимно просты и разложение на простые однозначно, то каждый из них сам обязан быть $p$-й степенью (с точностью до обратимого). Отсюда получается система, из которой методом бесконечного спуска выводится противоречие.

Рассуждение работает — но только при однозначности разложения в кольце $\mathbb{Z}[\zeta]$.

Обвал

Однозначность выполняется при $p<23$ и нарушается при $p=23$.

Это открытие Куммера (сам факт нарушения он установил около 1844 года). Обстоятельство совершенно неожиданное: до этого молчаливо предполагалось, что основная теорема арифметики верна везде.

Ходит легенда, что Куммер послал в Парижскую академию доказательство ВТФ, основанное на этом предположении, и Дирихле указал ему на ошибку. Документально легенда не подтверждается, и историки (Эдвардс) считают её недостоверной. Но ошибку такого рода в те годы действительно делали — например, в 1847 году Ламе объявил в Парижской академии полное доказательство ВТФ, и ЛиувилльЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. тут же публично указал на ту же дыру; Ламе признал поражение. Куммер к тому моменту знал ответ уже два года и прислал в Париж письмо с разъяснением.

Идеальные числа

Идея Куммера. Раз множителей не хватает, добавим недостающие.

Он рассуждал по аналогии с химией: подобно тому как соединение анализируется на элементы, которые в свободном виде могут не встречаться, число можно «разложить» на идеальные простые сомножители, каждый из которых сам числом не является.

Как определить то, чего нет. Куммер определяет идеальный простой множитель не как объект, а как критерий делимости: он задаёт правило, по которому для любого $\alpha\in\mathbb{Z}[\zeta]$ можно сказать, «делится» ли $\alpha$ на данный идеальный множитель и в какой степени. Правила подобраны так, что:

• обычные простые множители укладываются в схему;
• однозначность разложения восстанавливается;
• показатели степеней ведут себя как положено (аддитивны при умножении).

Конструкция громоздкая, привязанная именно к круговым полям и не вполне прозрачная. Но она работала.

Число классов и регулярные простые

Куммер вводит меру отклонения от однозначности — число классов $h_{p}$: количество классов идеальных чисел с точностью до обычных. Однозначность равносильна $h_p=1$.

Определение. Простое $p$ называется регулярным, если $p\nmid h_{p}$.

Теорема Куммера (1847). Если $p$ регулярно, то ВТФ верна для показателя $p$.

Практический критерий (тоже Куммер): $p$ регулярно тогда и только тогда, когда $p$ не делит числители чисел БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. $B_{2},B_{4},\ldots,B_{p-3}$.

Результат. Из простых меньше 100 нерегулярны только 37, 59 и 67. Значит, ВТФ доказана для всех остальных показателей до 100 — колоссальный скачок по сравнению с прежним состоянием (были известны только $n=3,4,5,7$).

Позже Куммер разобрал и нерегулярные случаи до 100 отдельными приёмами.

Открытый вопрос. Регулярных простых бесконечно много? Неизвестно до сих пор. А вот нерегулярных бесконечно много — доказано Йенсеном в 1915 году. Эвристика (Зигель) даёт долю регулярных около $e^{-1/2}\approx 60{,}65\%$, и численные данные это подтверждают.

Что из этого выросло

Для теории чисел. Метод Куммера продержался как основной подход к ВТФ более ста лет. К 1993 году компьютерными методами теорема была проверена для всех $p<4\,000\,000$. Полное доказательство пришло совсем другим путём (УайлсЭндрю Уайлсбританский математик · род. 1953Семь лет работал в одиночку и в тайне, доказал теорему Ферма — и через два месяца после объявления обнаружил в доказательстве дыру, на закрытие которой ушёл ещё год. — последняя точка файла).

Для алгебры — гораздо больше.

Дедекинд (1871) превратил идеальные числа Куммера в идеалы — множества, замкнутые относительно операций. Конструкция стала прозрачной, общей (для любого кольца целых алгебраических чисел, а не только круговых) и породила современный способ мышления.

Кронекер параллельно развивал другой подход (через дивизоры), и спор ДедекиндаРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. с Кронекером о правильном языке — один из важных сюжетов эпохи.

Отсюда — вся коммутативная алгебра, теория чисел XX века, и, через ГротендикаАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне., алгебраическая геометрия.

Урок

Сюжет стоит рассказывать целиком, потому что он образцовый.

1. Задача (ВТФ) оказалась неприступной.
2. Попытка приступа обнаружила неожиданное препятствие (крах однозначности).
3. Препятствие пришлось обходить, изобретая новый объект.
4. Исходная задача так и не была решена этим способом.
5. Зато новый объект перестроил целую науку.

Куммер потратил жизнь на теорему Ферма и её не доказал. Но идеалы, число классов, регулярные простые и вся вырастающая отсюда алгебраическая теория чисел стоят несравнимо больше, чем ответ на исходный вопрос.

ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. формулировал это так: теорема Ферма — пример того, как задача, сама по себе малозначительная, побуждает науку к великим достижениям.

Человек

Эрнст Эдуард Куммер (1810–1893) начинал школьным учителем в Лигнице (десять лет), где его учеником был Кронекер. Избран в Берлинскую академию в 1839 году будучи ещё школьным учителем — по рекомендации Дирихле.

С 1855 года в Берлине, где вместе с ВейерштрассомКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. и Кронекером составил знаменитый триумвират, сделавший Берлин математической столицей на тридцать лет. Считался одним из лучших лекторов Германии; среди его учеников — КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя., Шварц, Фробениус.

В геометрии его имя носит поверхность Куммера — квартика с шестнадцатью особыми точками.

Соседние точки: Диофант (заметка ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.) → Куммер → Дедекинд (1871); замыкается Уайлсом.