Алгебра

от вавилонских рецептов до Монстра

Сюжет в одном абзаце

Три тысячи лет уравнения решали (Вавилон — Багдад — Болонья); двести лет учились записывать (Виет, Декарт) и упёрлись в неразрешимость (Абель, Галуа); в 1843–1854 годах выяснилось, что законы операций можно выбирать (Дублин, Штеттин, Корк); Гёттинген 1921–1931 превратил алгебру в науку о структурах; а к концу XX века она замкнула круг, вернувшись к анализу и физике — через Монстра, алгебры Каца — Муди и квантовые группы.

Что на самом деле произошло за эти три тысячи лет

Если у линии анализа один сквозной вопрос («что происходит на границе между конечным и бесконечным?»), то у алгебры их два, и они сменяют друг друга примерно в середине XIX века.

Вопрос первый, до 1830 года: как решить уравнение? Ответ ищут в виде формулы — конечного выражения из коэффициентов через арифметические действия и корни. Вавилоняне умеют для второй степени, дель Ферро и Феррари — для третьей и четвёртой. Двести пятьдесят лет ищут формулу для пятой, и Абель доказывает, что её нет.

Вопрос второй, после 1830 года: почему? И здесь происходит подмена предмета, определившая всю дальнейшую математику. Чтобы объяснить, почему формулы нет, Галуа перестаёт изучать уравнение и начинает изучать группу его симметрий. Оказывается, что судьба уравнения записана не в его коэффициентах, а в устройстве некоторого совершенно другого объекта.

Дальше это повторяется снова и снова: чтобы понять числа, изучают кольца; чтобы понять кольца — идеалы; чтобы понять геометрию — группы преобразований; чтобы понять частицы — представления. Алгебра перестаёт быть наукой о вычислениях и становится наукой о структурах.

Три оговорки, полезные при чтении

Первая: «алгебра» меняет значение трижды. У аль-Хорезми это искусство переносить члены уравнения. У Виета — исчисление буквенных выражений. У Нётер — теория множеств с операциями, подчинёнными аксиомам. Одно слово, три разные науки, и школьная «алгебра» застряла между первым и вторым значением.

Вторая: почти всё главное здесь сделали очень молодые люди. Абелю 22, когда он доказывает неразрешимость; Галуа 20 в ночь перед дуэлью; Гамильтону 38, но это скорее исключение; Гильберту 26 в момент теоремы о базисе; Дринфельду около 30. Алгебра — самая «молодая» из математических дисциплин по возрасту авторов, и это не случайность: она меньше прочих требует накопленной эрудиции и больше — готовности отказаться от привычного.

Третья: обозначения — не украшение, а содержание. Три тысячи лет умели решать квадратные уравнения и не умели записать. Как только Виет ввёл буквы, за полтора века выяснилось всё остальное. Эта линия — редкий случай, когда прогресс нотации прямо порождает прогресс мысли.

Открыть на карте

1

Вавилон XIX–XVII вв. до н. э.
Вавилон: квадратные уравнения прозой
Писцовые школы решают квадратные уравнения — словами, без единого символа. Умение решать пришло к человечеству на тысячелетия раньше умения записывать.
2

Александрия ок. 250 г. (датировка спорна)
Диофант: первые шаги к символам
«Арифметика» — сотни задач на уравнения в рациональных числах и первые сокращения для неизвестной: синкопированная алгебра, промежуточная стадия, продержавшаяся тринадцать веков.
3

Бхинмал 628
Брахмагупта: нуль и отрицательные числа
«Долг, умноженный на долг, есть имущество»: правила знаков, арифметика нуля как полноправного числа и общее решение квадратного уравнения — за тысячу лет до того, как Европа перестала бояться отрицательных корней.
4

Багдад ок. 820 г.
Аль-Хорезми: книга, давшая имя алгебре
«Аль-джабр» из названия трактата стало словом «алгебра», а имя автора в латинской передаче — словом «алгоритм». Впервые уравнения не решаются по случаю, а классифицируются и разбираются исчерпывающе.
5

Багдад ок. 1000 и ок. 1144
Аль-Караджи и ас-Самавал: алгебра без геометрии
Аль-Караджи строит арифметику степеней и таблицу биномиальных коэффициентов с зачатком индукции; ас-Самавал делит многочлены в столбик и работает с отрицательными показателями. Алгебра освобождается от геометрических подпорок.
6

Самарканд ок. 1070
Омар Хайям: кубические уравнения через конические сечения
Поэт даёт полную классификацию кубических уравнений и решает каждое пересечением конических сечений — честно признаваясь, что алгебраического решения найти не смог, и оставляя задачу потомкам. Найдут её через 475 лет в Болонье.
7

Милан 1545; напечатана в Нюрнберге
«Ars Magna»: драма кубических уравнений
Финал тридцатилетней драмы дель Ферро — Тартальи — Кардано: формулы третьей и четвёртой степени опубликованы. Из «нелепых» корней из отрицательных чисел вырастут комплексные числа.
8

Болонья 1572
Бомбелли: как обращаться с невозможным
Инженер-осушитель болот выписывает правила арифметики для $\sqrt{-1}$ и показывает, что через мнимые числа проходит дорога к вещественному ответу. Комплексные числа вошли в математику как рабочая необходимость.
9

Тур 1591
Виет: буквы вместо чисел
Криптограф Генриха IV вводит буквы не только для неизвестных, но и для параметров: впервые можно записать общее уравнение. До Виета алгебра — сборник задач, после — исчисление форм.
10

Москва 1703
Магницкий: «Арифметика, сиречь наука числительная»
Навигацкая школа в Сухаревой башне. Учебник, где впервые под одной обложкой сошлись арабские цифры, действия с ними, алгебра, тригонометрия и навигация. «Врата учёности» Ломоносова и точка входа России в европейскую математику.
11

Кембридж лекции 1673–1683, издана в 1707
Ньютон: «Всеобщая арифметика»
Техника работы с многочленом

Лекции, которые Ньютон читал по обязанности лукасовского профессора и печатать не хотел: издание вышло без его имени. Между тем в XVIII веке это была самая читаемая его математическая книга — и именно из неё в школу пришли формулы для сумм степеней корней, правило о целых корнях и обсуждение правила знаков Декарта.
12

Париж учебник — 1764–1769, «Общая теория» — 1779
Безу: три теоремы под одним именем
Деление с остатком и понижение степени

Остаток от деления многочлена на x − a равен значению многочлена в точке a — отсюда весь школьный приём понижения степени. Но «теоремой Безу» в разных странах называют три разных утверждения: русская школа — эту, французская традиция — соотношение su + tv = НОД, алгебраическая геометрия — теорему о mn точках пересечения кривых.
13

Хельмштедт 1799
Основная теорема алгебры
Диссертация 22-летнего Гаусса: всякий многочлен имеет комплексный корень. По современным меркам и в ней есть пробел — безупречным станет доказательство 1816 года. И «основная теорема алгебры» — по существу теорема анализа.
14

Христиания 1824
Абель: формулы не существует
Двадцатидвухлетний норвежец доказывает то, что двести семьдесят девять лет считали лишь ненайденным: общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах. Брошюру он печатает за свой счёт и, экономя бумагу, делает её почти нечитаемой.
15

Париж письмо — в ночь на 30 мая 1832
Ночь Галуа
Перед дуэлью двадцатилетний Галуа пишет письмо с изложением теории групп. Разрешимость уравнения в радикалах определяется структурой группы его симметрий — и уравнение пятой степени неразрешимо потому, что группа $A_5$ проста.
16

Дублин понедельник 16 октября 1843
Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камне
Гамильтон понимает, что для «умножения троек» нужна четвёртая компонента и жертва коммутативностью — и выцарапывает $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ на камне моста. Законы арифметики оказалось можно выбирать.
17

Штеттин (Щецин) 1844
Грассман: учение о протяжённости
Школьный учитель публикует «Ausdehnungslehre»: $n$-мерные пространства, линейная независимость, внешнее произведение — практически вся линейная и полилинейная алгебра в одной книге. Книгу не прочёл никто.
18

Корк Линкольн, 1847; Корк, 1854
Буль: законы мысли
Сын сапожника, не учившийся в университете ни дня, превращает логику в алгебру, где $x^{2}=x$. Девяносто лет спустя Шеннон покажет: это в точности алгебра релейных схем.
19

Бреслау (Вроцлав) 1846–1847
Куммер: идеальные числа
Пытаясь доказать Великую теорему Ферма, Куммер обнаруживает, что однозначность разложения на множители нарушается, — и придумывает недостающие «идеальные» множители. Из этой заплатки вырастет вся современная алгебра.
20

Лондон 1850-е
Сильвестр и Кэли: инварианты и слово «матрица»
Два друга, работающих вне университетов, создают теорию инвариантов и попутно вводят половину терминов современной алгебры, включая слово «матрица». Предыстория точки 16.
21

Лондон 1854 и 1858; кафедра в Кембридже — с 1863
Кэли: группа как таблица умножения
Абстрактное определение группы — таблица умножения вместо подстановок — и вскоре исчисление матриц. Написано между судебными делами: Кэли в те годы работал адвокатом в Лондоне.
22

Париж 1870
Жордан: Галуа становится преподаваемым
«Traité des substitutions» — первая книга, излагающая теорию групп связно и целиком. По ней учились Клейн и Ли; после неё идеи Галуа перестали быть достоянием немногих.
23

Брауншвейг 1871
Идеалы: множество как объект
Дедекинд превращает «идеальные числа» Куммера в идеалы — множества, замкнутые относительно операций. Первый случай, когда алгебраический объект есть множество со структурой.
24

Эрланген 1872
Клейн: Эрлангенская программа
Двадцатитрёхлетний Клейн объявляет: геометрия есть теория инвариантов группы преобразований. Разные геометрии — разные группы. Теория групп поглощает геометрию целиком.
25

Христиания Христиания, 1873–1886; Лейпциг, 1886–1898
Софус Ли: непрерывные симметрии
Ли переносит идею Галуа с алгебраических уравнений на дифференциальные: у каждого уравнения есть группа непрерывных симметрий, и по ней видно, интегрируется оно или нет. Без этой точки Киллинг необъясним.
26

Браунсберг (Бранево) 1888–1890
Киллинг: E₈ из провинциального лицея
Преподаватель католического лицея в Восточной Пруссии в почти полной изоляции классифицирует все простые комплексные алгебры Ли — включая никем не виданные исключительные $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$.
27

Санкт-Петербург параллелоэдры — 1885, «Симметрия правильных систем фигур» — 1891
Фёдоров: двести тридцать способов быть кристаллом
Петербургский кристаллограф доказывает, что видов симметрии у решётки конечное число, и выписывает список: семнадцать на плоскости, двести тридцать в пространстве. Список закрыт — восемнадцатого типа обойного узора не существует. Оттуда же следует запрет: пятерной симметрии у кристалла быть не может.
28

Турин 1888
Пеано: аксиомы векторного пространства
Пеано переизлагает Грассмана понятным языком и попутно даёт первое современное аксиоматическое определение векторного пространства — на тридцать четыре года раньше Банаха. Никто не замечает.
29

Кёнигсберг 1893
Гильберт: теорема о нулях
Множества решений систем уравнений и идеалы в кольце многочленов — одно и то же, записанное двумя способами. Словарь между алгеброй и геометрией, на котором стоит вся алгебраическая геометрия.
30

Берлин апрель — декабрь 1896
Характеры: теория представлений за несколько месяцев переписки
Дедекинд пишет Фробениусу о загадочном разложении «группового определителя» — и за несколько месяцев переписки рождается теория характеров и представлений конечных групп.
31

Кёнигсберг 1888–1893
«Это не математика, это теология»
Гильберт доказывает теорему о базисе неконструктивно — чистым существованием, не предъявляя базиса. Возглас Гордана стал крылатым; это момент, когда алгебра приняла доказательства существования.
32

Гамбург Эдинбург, 1907; Гамбург, 1927
Веддербёрн и Артин: структура алгебр
Полупростое кольцо есть прямое произведение матричных алгебр — и больше ничего. Классификационный результат того же типа, что у Киллинга, но для ассоциативных алгебр.
33

Кёнигсберг 1910–1912
Бибербах: восемнадцатая проблема, часть первая
Гильберт спросил в 1900 году: конечно ли число кристаллографических групп в пространстве любого числа измерений? Двадцатичетырёхлетний приват-доцент отвечает «да» — и попутно показывает, что всякая такая группа устроена одинаково: решётка переносов с конечной надстройкой над ней.
34

Берлин 1910
Штейниц: что такое поле
Первая абстрактная теория полей: характеристика, простое подполе, алгебраическое замыкание, степень трансцендентности. Недостающее звено между Дедекиндом и Нётер — работа, на которой ван дер Варден построил свою книгу.
35

Гёттинген 1921
Эмми Нётер: «Idealtheorie» и стиль структур
«Idealtheorie in Ringbereichen»: из одной аксиомы обрыва цепей выводится вся теория разложения. Главный вклад Нётер — даже не теоремы, а стиль: доказывать структурой, а не вычислением.
36

Париж 10 декабря 1934
Кафе «Капулад»: рождение Бурбаки
Шестеро молодых нормальенцев решают написать современный учебник анализа. Замысел разрастётся в проект переписать всю математику на языке структур — с алгеброй в сердцевине.
37

Москва 1934
Понтрягин: двойственность и гармонический анализ на группе
Двойственность для локально компактных коммутативных групп объясняет, почему ряд Фурье на окружности, интеграл Фурье на прямой и дискретное преобразование — одно и то же: гармонический анализ живёт на группе, а не на отрезке. Понтрягин ослеп в четырнадцать лет и всё считал в уме.
38

Москва 1943
Гельфанд и Наймарк: пространство из алгебры
Коммутативная C*-алгебра — это в точности алгебра непрерывных функций на некотором пространстве. Топология полностью кодируется алгеброй; отсюда прямая дорога к «пространствам без точек».
39

Москва 1955
П. С. Новиков: проблема тождества слов неразрешима
Алгоритмическая неразрешимость впервые приходит в обычную алгебру: нельзя написать программу, которая по группе, заданной образующими и соотношениями, скажет, равны ли два слова. Прямой мост от Тьюринга к Матиясевичу.
40

Париж 1955
Шевалле: группы лиева типа
Шевалле показывает, как построить аналог всякой простой группы Ли над любым полем, в том числе конечным. Из пяти исключительных алгебр Киллинга получаются пять новых серий конечных простых групп — а из классификации в целом шестнадцать из восемнадцати семейств.
41

Париж 1955
Серр: пучки в алгебраической геометрии
«Faisceaux algébriques cohérents» — работа, после которой алгебраическая геометрия заговорила на языке пучков и когомологий. Непосредственный предшественник Гротендика.
42

Бюр-сюр-Иветт 1958–1970
Гротендик: схемы
Всякое коммутативное кольцо объявляется геометрическим пространством. Коммутативная алгебра и геометрия сливаются полностью; из этого вырастает доказательство гипотез Вейля. В 1970-м автор уходит из математики.
43

Чикаго 1963; Фейт — в Итаке, Томпсон — в Чикаго
255 страниц: нечётный порядок
Фейт и Томпсон: всякая конечная группа нечётного порядка разрешима. Самая длинная статья в истории математики на тот момент — и стартовый выстрел классификации простых конечных групп.
44

Москва 1964
Голод и Шафаревич: полторы страницы против двух задач
Одна лемма о размерностях бьёт сразу две задачи: даёт контрпример к общей проблеме Бернсайда — бесконечную периодическую группу — и доказывает бесконечность башни полей классов.
45

Канберра 1965; J₂ и J₃ предсказаны в Мельбурне в 1966
Янко: сюрприз из Канберры
Первая новая спорадическая группа за девяносто лет. Открытие вызвало «золотую лихорадку»: за десять лет найдено ещё двадцать спорадических групп.
46

Чикаго 1972
Горенстейн: программа
Даниэль Горенстейн излагает план из шестнадцати пунктов, превращающий груду разрозненных результатов в выполнимый проект. Крупнейшее коллективное предприятие в истории математики получает организатора.
47

Кембридж наблюдение Огга — 1975, гипотеза — 1979, доказательство — 1992
Moonshine: Монстр и лунный свет
Маккей замечает: $196\,884 = 196\,883 + 1$. Гипотеза «Monstrous Moonshine» связала крупнейшую конечную симметрию с теорией чисел и теорией струн; Борчердс доказал — Филдсовская медаль.
48

Санкт-Петербург Ленинград, 1978–1979
Фаддеев: квантовый метод обратной задачи
Алгебраический анзац Бете — Фаддеев, Склянин, Тахтаджян — становится питательной средой, из которой через три года прямо вырастут квантовые группы Дринфельда.
49

Харьков первая половина 1980-х; доклад — Беркли, 1986
Квантовые группы
Дринфельд доводит некоммутативность Гамильтона до предела: «группа», у которой нет точек, а есть только алгебра функций. Термин и программа — доклад в Беркли; Филдсовская медаль 1990.
50

Черноголовка 1984
Белавин, Поляков и Замолодчиков: конформная симметрия
Двумерная конформная теория поля, написанная в Институте теоретической физики имени Ландау. Её алгебраический скелет — это в точности вершинные операторные алгебры, на которых Борчердс доказал Moonshine.
51

Принстон 1994–1995
Уайлс: закрытие поля
Заметка Ферма на полях Диофанта доказана через 358 лет — методами, которых не существовало ни при Ферма, ни при Куммере. Замыкает сразу два сюжета линии.