Голод и Шафаревич: полторы страницы против двух задач

Соседство

Предыдущая точка — статья ФейтаУолтер Фейтамериканский математик · 1930–2004Вместе с Томпсоном доказал, что всякая конечная группа нечётного порядка разрешима. Статья заняла 255 страниц и целый выпуск журнала — и с неё началась классификация конечных простых групп. и ТомпсонаДжон Григгс Томпсонамериканский математик · род. 1932Доказал вместе с Фейтом, что всякая конечная группа нечётного порядка разрешима, — работа заняла 255 страниц и целый выпуск журнала — и этим открыл дорогу к классификации конечных простых групп.: двести пятьдесят пять страниц, целый выпуск журнала, годы работы, теорема о том, что группы нечётного порядка разрешимы.

Эта — полторы страницы.

Сопоставление не ради эффекта. Оно показывает, что в алгебре бывают результаты двух совершенно разных сортов: те, которые берутся измором, и те, которые берутся одним точным наблюдением. Причём наблюдение здесь настолько универсально, что бьёт сразу две задачи из разных областей — одну из теории групп, другую из теории чисел, — между которыми на первый взгляд нет ничего общего.

Наблюдение

Возьмём алгебру, заданную образующими и соотношениями: $d$ образующих, а соотношения — однородные многочлены степени не ниже двух, причём соотношений степени $i$ ровно $r_{i}$ штук.

Вопрос: насколько велика получившаяся алгебра? Соотношения её уменьшают: каждое убивает часть элементов. Если соотношений много, алгебра может оказаться конечномерной. А если мало?

Голод и Шафаревич подсчитали это аккуратно — сравнивая ряды Гильберта, то есть производящие функции размерностей однородных компонент, — и получили неравенство, из которого следует:

Теорема (Голод — Шафаревич, 1964). Если соотношений достаточно мало по сравнению с числом образующих, алгебра бесконечномерна.

В самой употребительной групповой форме это звучит так:

Если конечная $p$-группа $G$ задана $d$ образующими и $r$ соотношениями, то обязательно
$$r>\frac{d^{2}}{4}.$$

Прочтём в обратную сторону, и станет видна вся сила утверждения: если удалось построить группу, у которой соотношений меньше $d^{2}/4$, то она заведомо бесконечна — доказывать это отдельно не нужно, достаточно посчитать образующие и соотношения.

Никакой структуры, никакой классификации, никакого разбора случаев. Только счёт.

Первый удар: проблема Бернсайда

Уильям Бернсайд в 1902 году спросил:

Обязана ли конечно порождённая группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, быть конечной?

Интуиция говорит «да». Порождающих конечное число, каждый элемент рано или поздно возвращается в единицу — откуда взяться бесконечности? Шестьдесят два года никто не мог ни доказать, ни опровергнуть.

Е. С. Голод построил контрпример. Схема — три шага, и каждый прозрачен:

1. Взять алгебру с $d\geqslant3$ образующими и малым числом соотношений, подобранных так, чтобы каждый элемент был нильпотентен (какая-то его степень равна нулю).
2. По неравенству эта алгебра бесконечномерна.
3. Рассмотреть группу, порождённую элементами вида $1+x_{i}$. Из нильпотентности следует, что каждый её элемент имеет конечный порядок; из бесконечномерности алгебры — что группа бесконечна.

Готово: конечно порождённая бесконечная периодическая группа.

Важная оговорка о том, какая именно проблема закрыта. Бернсайд спрашивал в двух вариантах. В общем порядки элементов конечны, но могут быть любыми — это Голод и опроверг. В ограниченном требуется общая граница: $x^{n}=1$ с одним и тем же $n$ для всех. Это гораздо труднее, и опровергли его НовиковПётр Сергеевич Новиковсоветский математик · 1901–1975Перенёс неразрешимость из оснований математики в обычную алгебру: доказал, что нет алгоритма, распознающего равенство двух слов в группе. Отец С. П. Новикова, с которым его постоянно путают. и Адян только в 1968 году — тот самый Новиков, что стоит на этой линии пятью точками раньше. Есть и третий вариант, ослабленная проблема Бернсайда (сколько существует конечных групп данного показателя): её положительно решил Зельманов в 1991-м и получил за это Филдсовскую медаль.

Второй удар: башня полей классов

Здесь линия делает петлю на сто лет назад, к точке о Куммере.

КуммерЭрнст Куммернемецкий математик · 1810–1893Обнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть. обнаружил, что в кольцах целых алгебраических чисел разложение на простые множители неоднозначно, и придумал «идеальные числа», чтобы её восстановить. Мера этой неоднозначности — число классов $h$: при $h=1$ разложение однозначно, при $h>1$ — нет.

Дальше возникла надежда, оформленная ГильбертомДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. и Фуртвенглером. У всякого поля $K$ есть поле классов Гильберта $K^{1}$ — максимальное неразветвлённое абелево расширение, в котором все идеалы исходного поля становятся главными. Построим башню:

$$K\subset K^{1}\subset K^{2}\subset K^{3}\subset\cdots$$

каждый этаж — поле классов предыдущего. Если башня обрывается, то на верхнем этаже число классов равно единице, то есть однозначность разложения восстанавливается — надо лишь подняться достаточно высоко.

Это была бы очень красивая теорема: неоднозначность разложения — не порок числа, а следствие того, что мы смотрим на него в слишком тесном поле.

Голод и Шафаревич показали, что башня может не обрываться никогда.

Ход мысли: группа ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. башни — это про-$p$-группа, число её образующих и соотношений выражается через арифметику поля (числа образующих даёт $p$-ранг группы классов, соотношений — теория Гильберта). Если разветвлённых простых достаточно много, образующих оказывается много, а соотношений мало, неравенство $r>d^{2}/4$ нарушается — и группа обязана быть бесконечной. А бесконечная группа Галуа означает бесконечную башню.

Конкретный пример выписывается явно: для мнимого квадратичного поля, у которого дискриминант делится не менее чем на шесть простых, башня бесконечна. Скажем,

$$K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{-3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17}\right)$$

— поле, которое можно выписать в одну строку, и у него башня полей классов не кончается.

Надежда Гильберта не сбылась: подняться до однозначного разложения нельзя, лестница бесконечна.

Почему одно и то же неравенство

Стоит проговорить, потому что связь неочевидна и в этом вся соль.

Обе задачи — про группы, заданные образующими и соотношениями, просто в одном случае группа абстрактная, а в другом это группа Галуа. Обеим нужно доказать бесконечность. И в обоих случаях доказательство одинаковое: посчитать образующие, посчитать соотношения, сравнить с $d^{2}/4$.

Это очень характерная для этой линии история. Вступление говорит, что алгебра перестала быть наукой о вычислениях и стала наукой о структурах; здесь видно, чем за это платят и что получают. Ни группа Бернсайда, ни башня полей классов не имеют отношения друг к другу по существу — но у них одинаковый способ задания, и этого достаточно, чтобы одна лемма закрыла обе.

Люди

Евгений Соломонович Голод (1935–2018) — ученик Шафаревича; результат получен в аспирантуре. Всю жизнь проработал на мехмате МГУ.

Игорь Ростиславович Шафаревич (1923–2017) — фигура крупная и трудная. Математически: теория чисел и алгебраическая геометрия, теорема Шафаревича об обратной задаче Галуа для разрешимых групп (1954), теория поверхностей, учебник «Основы алгебраической геометрии», по которому училось несколько поколений; семинар, из которого вышли Манин, Голод, Аверьянов и многие другие.

Вне математики он с 1970-х выступал как публицист — сначала как участник правозащитного движения и соавтор Солженицына, затем как автор националистических сочинений, вызвавших международный скандал и заявления ряда академий. Оценки его текстов резко расходятся, и излагать их здесь не место. Отметить необходимо: тот факт, что неравенство названо его именем, к этим текстам отношения не имеет и от них не зависит.

Следующая точка: Австралия — сюрприз, разрушивший уверенность.