Пётр Сергеевич Новиков

Двух Новиковых на карте легко перепутать, и путают их регулярно. Здесь — отец: П. С. Новиков, алгебра и логика. Сын, С. П. Новиков, — топология и математическая физика.

Лузитания

Родился в 1901 году в Москве, в купеческой семье. Учился в университете у Николая Николаевича Лузина, в той самой «Лузитании», из которой вышло целое поколение — Александров, Урысон, Суслин, Меньшов, Хинчин, Люстерник, Колмогоров, Гельфонд.

Начинал он там, где начинали все лузинцы, — в дескриптивной теории множеств, науке о том, насколько сложно устроены множества действительных чисел. Занятие это выглядит крайним случаем чистой абстракции, но оно приучает к одной мысли: у задачи бывает не «пока не решённое», а принципиально отсутствующее решение. Эту мысль он потом и перенёс в алгебру.

Женат был на Людмиле Всеволодовне Келдыш — тоже математике из лузинской школы и сестре Мстислава Келдыша. Их сын Сергей родился в 1938 году.

Слова и группы

Задачу поставил Макс Ден ещё в 1911 году. Группа задана образующими и соотношениями — конечным списком букв и конечным списком равенств между словами. Спрашивается: есть ли алгоритм, который по двум словам решает, равны они в этой группе или нет?

Полвека задача считалась трудной, но решаемой. В 1955 году Новиков показал, что алгоритма нет: существует конечно определённая группа, в которой проблема тождества слов неразрешима. Работа заняла у него годы, а печатный вариант — почти полторы сотни страниц. Независимо и чуть позже тот же результат получил Уильям Бун, и утверждение зовут теоремой Новикова — Буна. Ленинская премия 1957 года.

Значение этого шага стоит понимать точно. Тьюринг в 1936-м предъявил неразрешимую задачу про сами машины — про предмет, специально для этого и созданный. Оставалась надежда, что неразрешимость водится только в основаниях, а в живой математике её нет. Новиков эту надежду закрыл: неразрешимость обнаружилась в самом обыкновенном алгебраическом вопросе. Дальше по той же линии пойдёт Матиясевич с десятой проблемой Гильберта, а Кирби и Парис найдут недоказуемое утверждение уже в комбинаторике натуральных чисел.

Проблема Бернсайда

В 1968 году, за шестьдесят, он вернулся к неразрешимости с другой стороны — вместе с учеником Сергеем Адяном. Уильям Бернсайд ещё в 1902 году спросил: если в группе каждый элемент в степени $n$ даёт единицу и образующих конечное число, обязана ли группа быть конечной?

Теорема Новикова — Адяна отвечает: не обязана. Для всех нечётных $n \geqslant 4381$ (позже граница снижена до 665) существует бесконечная группа с конечным числом образующих, где $x^{n}=1$ для всех $x$. Доказательство — сложнейшая индукция, которую разбирают до сих пор; ограниченная проблема Бернсайда осталась при этом отдельным сюжетом со своим ответом.

Школа

С 1957 года и до конца жизни Новиков заведовал отделом математической логики в Математическом институте имени Стеклова — первым в стране. Отдел этот вырастил советскую школу логики и теории алгоритмов.

Умер в 1975 году. Его имя в математике встречается в двух совершенно разных местах — теорема Новикова — Буна в алгебре и гипотеза Новикова в топологии, — и это разные люди.