Ден: лемма о диске и проблема тождества слов

Кто

Макс Ден (1878–1952) — ученик Гильберта, прославившийся в двадцать два года: в 1900 году он решил третью проблему ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., доказав, что правильный тетраэдр и куб равного объёма не равносоставлены. Это была первая решённая задача из знаменитого списка, и решена она была за считанные месяцы.

С 1901 по 1911 год он приват-доцент в Мюнстере; обе работы, о которых здесь речь, сделаны там.

Ещё до них, в 1907 году, Ден вместе с Поулем Хеегором написал для «Энциклопедии математических наук» первый систематический обзор топологии — «Analysis situs». Именно в нём впервые строго изложена классификация поверхностей по роду и поставлен вопрос о классификации трёхмерных многообразий.

1910: узлы становятся группами

Работа «Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes» содержит сразу несколько ходов, определивших теорию узлов на век вперёд.

Группа узла. Ден предлагает изучать не сам узел, а фундаментальную группу его дополнения — то, что остаётся от пространства, если узел вынуть. Это переводит геометрический вопрос в алгебраический, ровно по рецепту Пуанкаре.

Работает это так. Для трилистника группа дополнения имеет представление

$$\pi_1=\langle a,b\ \mid\ aba=bab\rangle .$$

Чтобы доказать, что трилистник заузлен (то есть не разворачивается в окружность), достаточно показать, что эта группа неабелева — у незаузленной окружности группа дополнения равна $\mathbb{Z}$, она коммутативна. Проверить неабелевость просто: отобразим $a$ и $b$ в две транспозиции симметрической группы $S_3$, скажем $a\mapsto(12)$, $b\mapsto(23)$. Соотношение $aba=bab$ выполняется (обе части дают $(13)$), а образы не коммутируют. Значит, и сама группа некоммутативна. $\blacksquare$

Первое строгое доказательство того, что узлы вообще существуют.

Хирургия Дена. Из данного трёхмерного многообразия можно получать новые: вырезать полноторие вокруг узла и вклеить обратно, повернув перед этим на некоторый угол. Операция описывается парой целых чисел, и таким способом получаются все замкнутые трёхмерные многообразия (это доказали позже Ликориш и Уоллес). Хирургия Дена — рабочий инструмент трёхмерной топологии до сих пор; на ней стоят и результаты Тёрстона о гиперболизации.

Лемма Дена. Если в многообразии есть диск, самопересечения которого лежат строго внутри, то существует и вложенный диск с той же границей. Утверждение выглядит техническим, но без него не работает половина трёхмерной топологии.

И с ним связана поучительная история. Доказательство Дена содержало пробел, который обнаружил Хельмут Кнезер в 1929 году, — через девятнадцать лет. Ещё двадцать восемь лет лемма стояла недоказанной, пока в 1957 году её не доказал Христос Папакириакопулос, работавший в Принстоне почти в одиночестве и почти без публикаций больше десяти лет. Его доказательство («метод башни») считается одним из самых красивых в топологии, а сам сюжет — образцом того, что дыру в доказательстве может отделять от исправления полвека.

1911: три проблемы о группах

Вторая работа — «Über unendliche diskontinuierliche Gruppen» — формулирует то, из чего вырастет целая наука.

Пусть группа задана образующими и соотношениями: конечный список букв и конечный список равенств между словами. Ден ставит три вопроса.

Проблема тождества слов. Дано слово в образующих. Определить, равно ли оно единице.

Проблема сопряжённости. Даны два слова. Определить, сопряжены ли соответствующие элементы.

Проблема изоморфизма. Даны два представления. Определить, изоморфны ли группы.

Вопросы выглядят техническими, а на деле это первые в истории явно поставленные алгоритмические задачи в алгебре — за четверть века до того, как появится само понятие алгоритма (Тьюринг, 1936).

Для групп поверхностей Ден решил проблему тождества сам, предложив алгоритм Дена: если слово равно единице, то оно содержит «больше половины» какого-нибудь соотношения, и его можно укоротить заменой. Алгоритм сводит слово к пустому за конечное число шагов. Из этого наблюдения выросла теория малых сокращений, а затем — гиперболические группы Громова, для которых алгоритм Дена работает по определению.

А в общем случае ответ отрицательный. В 1955 году Пётр Сергеевич Новиков доказал, что проблема тождества слов алгоритмически неразрешима: существует конечно определённая группа, для которой никакая программа не может определить, равно ли данное слово единице. Независимо и чуть позже то же получил Уильям Бун. Проблема изоморфизма неразрешима и подавно (Адян, Рабин).

Так вопрос, заданный в Мюнстере в 1911 году, оказался в одном ряду с десятой проблемой Гильберта и теоремой Гёделя: не «мы пока не умеем», а «уметь нельзя».

Здесь стоит быть внимательным к однофамильцам: проблему тождества слов решил П. С. НовиковПётр Сергеевич Новиковсоветский математик · 1901–1975Перенёс неразрешимость из оснований математики в обычную алгебру: доказал, что нет алгоритма, распознающего равенство двух слов в группе. Отец С. П. Новикова, с которым его постоянно путают., отец; С. П. Новиков, топологическая точка этой же линии, — его сын.

Судьба

Дальнейшая биография Дена — одна из самых тяжёлых на карте.

С 1921 по 1935 год он профессор во Франкфурте, где вёл знаменитый семинар по истории математики: участники читали ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего., АрхимедаАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. и КеплераИоганн Кеплернемецкий астроном и математик · 1571–1630Вывел законы движения планет из чужих наблюдений, посчитал объём винной бочки способом, из которого через полвека вырастет интеграл, и защищал мать на процессе о колдовстве. в оригинале. В 1935-м его уволили как еврея. В ноябре 1938 года, в Хрустальную ночь, он был арестован и через сутки отпущен; после этого началось бегство.

Маршрут: Дания, затем Норвегия, затем — после немецкого вторжения — через Швецию, Советский Союз по Транссибирской магистрали, Японию и Тихий океан в США. Ему было шестьдесят два года.

В Америке места для него не нашлось: он сменил несколько провинциальных колледжей и в 1945 году оказался в Блэк-Маунтин-колледже — маленькой экспериментальной школе искусств в Северной Каролине, где преподавали Джон Кейдж, Мерс Каннингем и Виллем де Кунинг. Ден вёл там математику, философию и греческий, ходил в горы со студентами и был, по общим воспоминаниям, счастлив. Похоронен на территории колледжа.

Задача. Проверьте, что в группе $\langle a,b\mid aba=bab\rangle$ элементы $a$ и $b$ не коммутируют, отобразив их в транспозиции $S_3$.
(Ответ: $a\mapsto(12)$, $b\mapsto(23)$. Тогда $aba=(12)(23)(12)=(13)$ и $bab=(23)(12)(23)=(13)$ — соотношение выполнено. При этом $ab=(12)(23)=(123)$, а $ba=(23)(12)=(132)$ — разные элементы. Значит, гомоморфизм есть, образ неабелев, и исходная группа тем более.)

Следующая точка: Бонн — где под все эти рассуждения подведут фундамент и определят наконец, что такое пространство.