Гильберт: «Основания геометрии»

Что оставалось открытым

Разговор о пробелах «Начал» уже был: точка о Евклиде перечисляет их — понятие «между» нигде не определено, непрерывность не постулирована, наложение фигур используется без основания. Здесь — ответ.

Мориц Паш, «Vorlesungen über neuere Geometrie» (1882), первым аксиоматизировал отношение порядка.

Аксиома Паша. Прямая, входящая в треугольник через сторону и не проходящая ни через одну вершину, обязана выйти через одну из двух других сторон.

Утверждение выглядит смехотворно очевидным. Но у ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. его нет, и без него доказываются ложные вещи: знаменитый софизм «все треугольники равнобедренные» держится ровно на том, что чертёж молча подсказывает, какая точка лежит между какими. Паш и сформулировал программу: в доказательстве нельзя ссылаться на чертёж.

Книга

Давид Гильберт, «Grundlagen der Geometrie», Лейпциг, 1899 — в юбилейном сборнике к открытию памятника ГауссуКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. и Веберу в Гёттингене.

Пять групп аксиом:

Уточнение к счёту. В первом издании аксиом 21; вскоре Э. Х. Мур показал, что одна из аксиом порядка выводится из остальных, и в позднейших изданиях их 20. В литературе встречаются оба числа — расхождение объясняется этим.

Что добавлено к Евклиду: вся группа порядка (у него её нет вовсе), аксиома полноты (без неё нельзя доказать, что две окружности из самого первого предложения «Начал» пересекаются) и явная формулировка того, что подразумевалось молча.

Столы, стулья и пивные кружки

Знаменитую реплику приводит Отто Блюменталь со слов свидетеля разговора в зале ожидания берлинского вокзала (1891):

Вместо «точки, прямые, плоскости» надо в любой момент иметь возможность говорить «столы, стулья, пивные кружки».

Смысл не в шутке, а в требовании. Если рассуждение опирается на то, что мы представляем себе точку, значит это не доказательство. Аксиомы задают отношения между объектами; природа объектов не должна использоваться нигде.

Это и есть современный аксиоматический метод. Из него растёт всё дальнейшее: абстрактные группы, пространства Фреше и банаховы пространства, аксиоматика вероятности Колмогорова, структуры Бурбаки. Формулировка «математика изучает не объекты, а отношения между ними» датируется этой книгой.

Модели как инструмент

Гильберт систематически применяет приём, придуманный Бельтрами: чтобы доказать, что аксиома не выводится из остальных, надо построить модель, где все остальные верны, а она нет.

БельтрамиЭудженио Бельтрамиитальянский математик · 1835–1900Построил модель, в которой геометрия Лобачевского живёт внутри евклидовой, — и этим закрыл спор длиной в две тысячи лет: если неевклидова геометрия противоречива, то противоречива и обычная. сделал это один раз, для пятого постулата. Гильберт делает это для каждой аксиомы — и получает коллекцию странных геометрий:

• Неархимедова геометрия. Координаты берутся не из $\mathbb{R}$, а из неархимедова упорядоченного поля (ряды Пюизё). Там есть отрезки, которых нельзя превзойти, сколько ни откладывай другой отрезок. Прямой предшественник нестандартного анализа.
• Недезаргова плоскость. Выполнены все аксиомы связи и порядка, а теорема Дезарга — нет. Значит, в планиметрии она независима, хотя в стереометрии доказывается.
• Непаскалева геометрия, где не выполняется теорема Паппа.

Главное открытие: аксиомы и алгебра

Вот результат, ради которого стоит отдельная точка.

Гильберт строит исчисление отрезков: определяет сложение и умножение отрезков чисто геометрически, через построения — умножение задаётся подобием, единица выбирается произвольно. Возникает алгебраическая структура, и её свойства оказываются равносильны геометрическим аксиомам:

Геометрическая теорема оказалась равносильна алгебраическому закону. Теорема Паппа — это коммутативность умножения, записанная фигурами. Утверждение, две тысячи лет считавшееся фактом о шестиугольнике, есть на самом деле факт о числах.

Красивое следствие. По малой теореме Веддербёрна (1905) всякое конечное тело коммутативно. Значит, всякая конечная дезаргова плоскость паппова — чисто геометрическое утверждение, доказанное чисто алгебраически, безо всякой геометрии. Лучшая на карте иллюстрация того, что геометрия и алгебра — две проекции одного предмета.

Третья проблема и ДенМакс Деннемецкий математик · 1878–1952Первым решил задачу из списка Гильберта — и решил отрицательно; поставил три вопроса о группах, из которых выросла комбинаторная теория групп; кончил жизнь преподавателем в колледже для художников.

К той же работе примыкает сюжет, отлично работающий в школе.

Третья проблема Гильберта из списка 1900 года: равносоставлены ли тетраэдр и куб равного объёма? То есть можно ли разрезать один на конечное число многогранников и сложить из них другой?

На плоскости ответ положительный — теорема Бойяи — Гервина (1833): любые два многоугольника равной площади равносоставлены. (Тот самый Фаркаш БойяиФаркаш Бойяивенгерский математик · 1775–1856Друг Гаусса, потративший жизнь на попытки доказать пятый постулат, — и отговаривавший от этого сына, который постулат в итоге отменил. Его собственная теорема о равносоставленности стоит в основании третьей…, отец Яноша.)

В пространстве — нет. Ученик Гильберта Макс Ден решил задачу в том же 1900 году — это была первая решённая проблема из списка, и решена она была за считанные месяцы.

Ден строит инвариант: для многогранника с рёбрами длины $\ell_{i}$ и двугранными углами $\theta_{i}$

$$D=\sum_{i}\ell_{i}\otimes\theta_{i}\;\in\;\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\left(\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q}\right).$$

Инвариант не меняется при разрезании и складывании: рёбра либо делятся (и длины складываются), либо появляются новые — но там углы дают в сумме $\pi$ или $2\pi$ и обращаются в нуль в фактор-группе. У куба $D=0$: все двугранные углы прямые, а $\pi/2$ рационально кратен $\pi$. У правильного тетраэдра двугранный угол равен $\arccos\frac13$, и он не является рациональным кратным $\pi$ — значит $D\ne0$. Равносоставленность невозможна. $\blacksquare$

Следствие, замыкающее линию на её начало. Формула объёма усечённой пирамиды из папируса Ахмеса и формула $V=\frac13Sh$ принципиально требуют предельного перехода — конечными разрезаниями их не получить. Метод исчерпывания Евдокса был не следствием неразвитости античной техники, а необходимостью. Точка о папирусе честно отмечает, что происхождение египетской формулы — открытый вопрос; теорема Дена объясняет, почему простого ответа там быть не может.

Что было дальше

Аксиоматика ТарскогоАльфред Тарскийпольско-американский логик и математик · 1901–1983Дал первое строгое определение слова «истинно» — и тут же доказал, что внутри самого языка такое определение невозможно; уехал из Польши за три недели до войны, читая доклад в Гарварде. (1926–1959): элементарная геометрия в языке первого порядка, всего с двумя предикатами — «лежит между» и «равноудалён». Тарский доказал её полноту и разрешимость: существует алгоритм, определяющий истинность любого утверждения элементарной геометрии. Разительный контраст с арифметикой, где по теореме Гёделя такого алгоритма нет и быть не может. Причина в том, что в геометрии Тарского нельзя выразить «быть целым числом» — как только это удаётся, разрешимость пропадает.

«Grundlagen» выдержали при жизни автора семь изданий и остаются образцом жанра.

Задача. Двугранный угол правильного тетраэдра равен $\arccos\frac13\approx70{,}53^\circ$. Убедитесь, что он не является рациональным кратным $\pi$.
(Указание: положим $\theta=\arccos\frac13$ и покажем по индукции, что $\cos n\theta=\frac{a_n}{3^{n}}$, где $a_n$ — целое, не делящееся на 3. База: $\cos\theta=\frac13$, $\cos2\theta=-\frac79$. Шаг — из формулы $\cos(n+1)\theta=2\cos\theta\cos n\theta-\cos(n-1)\theta$. Если бы $\theta$ был рациональным кратным $\pi$, то при некотором $n$ вышло бы $\cos n\theta=\pm1$, то есть $a_n=\pm3^{n}$ — а $a_n$ на 3 не делится.)

Следующая точка: Кёльн — где геометрию впервые применят не к пространству, а к пространству-времени.