Нестандартный анализ: призраки реабилитированы

Исправление географии и даты

Исходная версия указывает «Лос-Анджелес · 1961». Это неверно в обеих частях, и для карты ошибка существенна.

Абрахам Робинсон (1918–1974) в 1957–1962 годах занимал кафедру своего учителя Френкеля в Еврейском университете в Иерусалиме. Академический 1960/61 год он провёл приглашённым профессором в Принстоне — и именно там, по воспоминаниям, идея нестандартных моделей анализа пришла ему в голову, когда он входил в здание Fine Hall. Публичный дебют — пленарный доклад 24 января 1961 года на юбилейном заседании Ассоциации символической логики (эту дату считают днём рождения нестандартного анализа). Статья «Non-standard analysis» напечатана в 1961 году в амстердамских трудах Королевской академии.

В UCLA он переехал только в июле 1962 года и работал там до 1967-го; там же написана монография «Non-standard Analysis» (1966). С 1967 года — Йель.

Корректная привязка: Принстон, 1960–1961 (открытие) и Лос-Анджелес, 1962–1966 (развитие и книга).

Что требовалось построить

Нужно расширение $\mathbb{R}$ до поля ${}^{*}\mathbb{R}$, в котором есть элемент $\varepsilon \ne 0$ с

$$|\varepsilon| < \frac{1}{n} \quad\text{для всех натуральных } n,$$

и при этом сохраняются все обычные свойства вещественных чисел.

Заметим сразу, что именно приходится нарушить: аксиому Архимеда. Для $\varepsilon$ нет натурального $n$ с $n\varepsilon>1$. Значит, ${}^{*}\mathbb{R}$ — неархимедово упорядоченное поле. Такие поля знали и раньше (ряды Леви — ЧивитыТуллио Леви-Чивитаитальянский математик и механик · 1873–1941Вместе с учителем построил тензорное исчисление — язык, писать на котором физику стало возможно независимо от координат; через двадцать три года выяснилось, что для общей теории относительности другого языка…, поле формальных рядов Лорана); нового в самом их существовании не было.

Новизна в другом: нужно, чтобы в ${}^{*}\mathbb{R}$ были верны те же теоремы, а не только аксиомы поля.

Построение через компактность

Простейший способ увидеть, что такое поле существует, — теорема компактности математической логики.

Возьмём язык, содержащий имя для каждого вещественного числа, и добавим новую константу $c$. Рассмотрим множество аксиом:

$$\Sigma = \operatorname{Th}(\mathbb{R}) \cup \left\{\,0 < c < \tfrac{1}{n}\ :\ n = 1, 2, 3, \ldots\right\},$$

где $\operatorname{Th}(\mathbb{R})$ — множество всех истинных утверждений первого порядка о вещественных числах.

Любое конечное подмножество $\Sigma$ выполнимо. Действительно, конечное подмножество содержит лишь конечное число условий $c<1/n$; взяв $N$ наибольшим из них и положив $c = 1/(2N)$, получаем модель — обычное $\mathbb{R}$.

По теореме компактности (ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет., Мальцев) выполнимо и всё $\Sigma$ целиком. Значит, существует модель ${}^{*}\mathbb{R}$, в которой истинны все теоремы о $\mathbb{R}$ и имеется бесконечно малый элемент $c$.

Второй, более конструктивный способ — ультрастепень: ${}^{*}\mathbb{R} = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}/\mathcal{U}$, где $\mathcal{U}$ — неглавный ультрафильтр на $\mathbb{N}$. Последовательность $(1, \tfrac12, \tfrac13, \ldots)$ и оказывается бесконечно малой.

Принцип переноса

Всякое утверждение первого порядка истинно в $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда оно истинно в ${}^{*}\mathbb{R}$.

Это рабочая лошадь всей теории. Оговорка «первого порядка» существенна: квантифицировать можно по элементам, но не по произвольным подмножествам. Поэтому, например, аксиома полноты (утверждение второго порядка: «всякое ограниченное множество имеет sup») переносится не буквально, а только для внутренних множеств. Иначе была бы катастрофа: ${}^{*}\mathbb{R}$ неархимедово, а из полноты архимедовость следует.

Словарь

• $x$ бесконечно мало, если $|x|<1/n$ для всех натуральных $n$;
• $x$ конечно, если $|x|<n$ для некоторого $n$;
• $x \approx y$ («бесконечно близки»), если $x-y$ бесконечно мало;
• стандартная часть $\operatorname{st}(x)$ — единственное вещественное число, бесконечно близкое к конечному $x$. Существование — следствие полноты $\mathbb{R}$: $\operatorname{st}(x) = \sup\{r\in\mathbb{R} : r<x\}$.

Ответ Беркли

Вот ради чего всё делалось. Определение производной:

$$f'(x) = \operatorname{st}\!\left(\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}\right)$$

для любого бесконечно малого $\varepsilon\ne0$ (результат от выбора $\varepsilon$ не зависит).

Вычислим $(x^{2})'$:

$$\frac{(x+\varepsilon)^{2}-x^{2}}{\varepsilon} = \frac{2x\varepsilon+\varepsilon^{2}}{\varepsilon} = 2x+\varepsilon,$$

$$f'(x) = \operatorname{st}(2x+\varepsilon) = 2x.$$

Сравните с точкой о Ньютоне. НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. делил на $o$, а потом $o$ отбрасывал — и Беркли справедливо спрашивал, нуль он или не нуль.

Здесь противоречия нет: $\varepsilon$ — настоящее ненулевое число поля ${}^{*}\mathbb{R}$, делить на него законно. А в конце мы не «отбрасываем» его, а применяем корректно определённую операцию взятия стандартной части: $2x+\varepsilon$ и $2x$ — разные числа, но у них одна стандартная часть, потому что они бесконечно близки.

Логический разрыв, мучивший математику с 1629 года, заполнен: между «делим» и «отбрасываем» вставлена законная операция округления до вещественного.

Непрерывность тоже упрощается до одной строки:

$$f \text{ непрерывна в } a \iff \big(x\approx a \Rightarrow f(x)\approx f(a)\big).$$

Сравните с тремя кванторами ВейерштрассаКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной.. Уходит и вечная путаница с равномерной непрерывностью: она означает то же самое, но для всех $x, a$ из ${}^{*}\mathbb{R}$, а не только для стандартных $a$.

Даёт ли это новые теоремы?

В принципе нет. ${}^{*}\mathbb{R}$ — консервативное расширение: всякое утверждение о $\mathbb{R}$, доказуемое нестандартными средствами, доказуемо и стандартными.

На практике да. Новые доказательства бывают проще и наводят на новые результаты:

• Теорема Бернстайна — Робинсона (1966): всякий полиномиально компактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное подпространство. Доказано нестандартными методами; Пол Халмош, получив препринт, немедленно перевёл доказательство на обычный язык — и обе работы вышли в одном номере журнала, рядом.
• Мера Лёба (1975) — конструкция, породившая «нестандартную теорию вероятностей»: континуальные вероятностные пространства строятся как гиперконечные, где всё сводится к суммам.
• Приложения в математической экономике (континуум агентов), гидродинамике, теории чисел.

Оценки

Гёдель высоко оценивал результат и, по свидетельствам, полагал, что анализ будущего будет преподаваться именно так.

Гарретт Биркгоф, напротив, считал технику логически изощрённой, но малополезной. Практика ближе к Биркгофу: подавляющее большинство математиков работает по Вейерштрассу, и нестандартный анализ остаётся специальным инструментом.

Учебная линия. Х. Джером Кейслер издал в 1976 году полноценный вводный курс анализа на бесконечно малых («Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach»); он выдержал несколько изданий и доступен свободно. Эксперименты по преподаванию показали, что студенты усваивают материал не хуже, а первоначальные интуиции у них лучше — но экосистема учебников, задачников и экзаменов слишком инерционна, чтобы меняться.

Эдвард Нельсон (1977) предложил альтернативу — внутреннюю теорию множеств (IST): вместо построения нового поля добавить к аксиомам ZFC предикат «стандартный» и три аксиомы. Тогда бесконечно малые обнаруживаются внутри самого $\mathbb{R}$ — просто «нестандартные» вещественные числа всегда там были, а мы их не различали.

Замыкание круга

Робинсон писал, что теперь идеи ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». о бесконечно малых могут быть полностью оправданы и что это ведёт к естественному подходу ко всему анализу.

Линия началась в Элее около 450 года до н. э. вопросом, можно ли завершить бесконечную последовательность шагов. АристотельАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы. запретил актуальную бесконечность; ЕвдоксЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. построил обходную технику; АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. довёл её до предела; КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно., ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей., Ньютон и Лейбниц нарушили запрет и получили работающее исчисление; Беркли показал, что оснований у него нет; КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., Вейерштрасс, ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. и КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. построили основания, окончательно изгнав бесконечно малые; и через двести тридцать лет после «призраков почивших величин» логика показала, что призраков можно было и не изгонять.

Оба ответа верны. Можно строить анализ на пределах (Вейерштрасс), можно — на бесконечно малых (Робинсон). Это две согласованные картины одной математики, и выбор между ними — вопрос удобства, а не истины. Лейбниц, всю жизнь колебавшийся между тремя объяснениями того, что такое $dx$, оказался прав по меньшей мере дважды.

Робинсон умер от рака поджелудочной железы в 1974 году, в 55 лет, будучи стерлинг-профессором Йеля.