Метод исчерпывания Евдокса

Кризис, который надо было решать

Пифагорейцы верили, что любые две величины соизмеримы: найдётся общая мерка, укладывающаяся в каждой целое число раз. На этом стояла вся их теория пропорций: $a : b$ — это, в сущности, отношение целых чисел.

Открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной ($\sqrt2$ иррационально) обрушило конструкцию. Все доказательства, использовавшие пропорции — а это львиная доля геометрии, включая теорию подобия, — повисли в воздухе.

Евдокс Книдский (ок. 408–355 до н. э.) — астроном, врач, ученик Архита и Платона, работавший в Книде, Кизике и Афинах — построил теорию пропорций, работающую для любых величин, соизмеримых или нет.

Определение V.5: дедекиндово сечение за 2200 лет до ДедекиндаРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге.

Вот оно, в современной записи. Говорят, что $a : b = c : d$, если для любых натуральных $m, n$

$$ ma > nb \iff mc > nd, \qquad ma = nb \iff mc = nd, \qquad ma < nb \iff mc < nd. $$

Присмотритесь. Условие $ma > nb$ равносильно $\dfrac{a}{b} > \dfrac{n}{m}$. То есть определение говорит: два отношения равны, если они одинаково делят все рациональные числа на бо́льшие и меньшие.

Именно это Дедекинд сделает в 1872 году (Дедекинд): вещественное число задаётся тем, как оно рассекает $\mathbb{Q}$. Дедекинд, кстати, знал об этом совпадении и прямо ссылался на пятую книгу «Начал».

Аксиома Архимеда (на самом деле Евдокса)

Определение V.4: величины имеют отношение, если, будучи умножены, могут превзойти друг друга. То есть для любых $a, b > 0$ найдётся натуральное $n$ с

$$na > b.$$

Это отсекает актуально бесконечно малые: величина, которая, сколько её ни повторяй, не превзойдёт другую, из рассмотрения исключается. Именно эту аксиому придётся выбросить РобинсонуАбрахам Робинсонамериканский математик и логик · 1918–1974Средствами математической логики построил числа, меньшие всякого положительного, но не нулевые, — и задним числом сделал законными триста лет вычислений Лейбница и Эйлера., чтобы построить гипердействительные числа.

Лемма исчерпывания

«Начала», книга X, предложение 1:

Если от величины отнять не менее половины, от остатка — снова не менее половины, и так далее, то через конечное число шагов остаток станет меньше любой наперёд заданной величины.

Формально: если $r_{k+1} \leqslant \tfrac12 r_k$, то $r_n \leqslant r_0/2^n$, и по аксиоме Архимеда для любого $\varepsilon>0$ найдётся $n$ с $r_n < \varepsilon$.

Это в точности утверждение $\lim_{n\to\infty} r_n = 0$ — но сформулированное так, что бесконечность не упоминается. Гениальная лингвистическая уловка: везде, где нам хочется сказать «в пределе», грек говорит «меньше любой наперёд заданной величины». Между прочим, это и есть будущий $\varepsilon$ ВейерштрассаКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной..

Двойное приведение к нелепости

Как доказать, что площадь $A$ равна величине $B$, если умеешь только приближать?

1. Предположим $A > B$. Возьмём $\varepsilon = A - B$. По лемме найдём вписанный многоугольник $P$ с $A - P < \varepsilon$, то есть $P > B$. Приходим к противоречию с каким-нибудь ранее доказанным неравенством.
2. Предположим $A < B$. Симметричное рассуждение, снова противоречие.
3. Значит, $A = B$. $\blacksquare$

Логически это безупречно. Но у метода есть тяжёлый недостаток, определивший всю дальнейшую историю: он умеет только проверять готовый ответ, а не находить его. Число $B$ надо откуда-то взять заранее. Именно поэтому античность не создала интегрального исчисления: у неё был контроль качества, но не было конвейера. Как этот ответ угадывали — расскажет сам АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. в следующей точке.

Результаты

Архимед в предисловии к трактату «О шаре и цилиндре» прямо приписывает Евдоксу два теоремы, входящие в XII книгу «Начал»:

• Объём конуса равен трети объёма цилиндра той же высоты и основания: $V = \tfrac13 S h$.
• Объём пирамиды — треть объёма призмы.

Второе особенно интересно: для пирамиды это результат, который невозможно получить чисто конечными разрезаниями. Это третья проблема ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., решённая его учеником Максом ДеномМакс Деннемецкий математик · 1878–1952Первым решил задачу из списка Гильберта — и решил отрицательно; поставил три вопроса о группах, из которых выросла комбинаторная теория групп; кончил жизнь преподавателем в колледже для художников. в 1900 году: правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Для площадей на плоскости такого препятствия нет (теорема БойяиФаркаш Бойяивенгерский математик · 1775–1856Друг Гаусса, потративший жизнь на попытки доказать пятый постулат, — и отговаривавший от этого сына, который постулат в итоге отменил. Его собственная теорема о равносоставленности стоит в основании третьей… — Гервина), а в пространстве предельный переход принципиально необходим. Евдокс наткнулся на подлинную границу конечной геометрии.

Также в XII книге: площади кругов относятся как квадраты диаметров (XII.2); объёмы шаров — как кубы диаметров.

Предшественники

Антифонт (V в. до н. э.) предлагал вписывать в круг многоугольники с удвоением числа сторон и утверждал, что многоугольник в конце концов совпадёт с кругом. АристотельАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы. это высмеял — и был прав: именно такое небрежное обращение с бесконечностью Евдокс и заменил корректной процедурой. Брисон добавил идею оценки сверху и снизу одновременно.

Следующая точка: Сиракузы — Архимед доводит метод до предела возможного и заодно проговаривается, как он на самом деле работает.