Аристотель

Математических работ Аристотель не оставил ни одной. Влияние его на математику тем не менее сильнее, чем у большинства математиков: он первым описал, как устроено доказательство, — и описал так точно, что через поколение по этому чертежу были построены «Начала».

Стагир, Академия, Ликей

Родился в 384 году до н. э. в Стагире, городке на северном побережье Эгейского моря. Отец, Никомах, был врачом при македонском дворе — отсюда и ранний интерес к тому, как устроены живые существа, и связи, которые позже определят его судьбу.

В семнадцать лет пришёл в афинскую Академию Платона и остался в ней на двадцать лет, до смерти учителя в 347 году. Главой Академии его не выбрали; он уехал в Малую Азию, потом на Лесбос, где несколько лет занимался морскими животными, а с 343 года учил тринадцатилетнего Александра Македонского.

В 335 году вернулся в Афины и основал собственную школу — Ликей. После смерти Александра в городе поднялась антимакедонская волна, Аристотеля обвинили в неблагочестии; он уехал в Халкиду, по преданию сказав, что не позволит афинянам согрешить против философии во второй раз — первым был приговор Сократу. Умер там через год, в 322-м.

Форма вместо содержания

Спорить умели и до него. Аристотель сделал ход, которого не делал никто: стал разбирать рассуждение, не глядя на то, о чём оно.

«Все люди смертны; Сократ — человек; значит, Сократ смертен» и «все планеты светят отражённым светом; Марс — планета; значит, Марс светит отражённым светом» — это одно и то же рассуждение. Заменим слова буквами, и останется чистая форма. Буквы вместо слов — тоже его изобретение, и оно опережает алгебру на полторы тысячи лет.

Форм оказывается конечное число, их можно перебрать и рассортировать. Из 256 мыслимых сочетаний правильны 24, а если не подразумевать молча, что все термины непусты, — ровно 15.

Наука как вывод из начал

Во «Второй аналитике» разобран вопрос, который обычно не задают: откуда берутся посылки? Доказывать их бесконечно нельзя, доказывать по кругу нельзя тем более. Значит, у всякой науки есть начала, которые не доказываются, — определения, аксиомы, постулаты, — а всё остальное из них выводится.

Это и есть описание аксиоматического метода, сделанное до того, как появился хоть один его образец. Образец появился через поколение: «Начала» Евклида построены ровно по этой схеме и держат её двадцать три века.

Бесконечность, которой нет

Ещё одно различение Аристотеля математика носит до сих пор: бесконечность потенциальная (сколько ни возьми, можно взять больше) и актуальная (бесконечное множество как готовый предмет). Первую он допускал, вторую отвергал.

Решение оказалось на редкость удобным: оно снимало апории Зенона, а метод исчерпывания прекрасно обходится потенциальной бесконечностью. Два тысячелетия математика жила по этому правилу — пока Кантор не сделал актуальную бесконечность рабочим предметом. Возражения против него, надо сказать, были почти дословно аристотелевскими, а Брауэр в XX веке отказал в законности уже самому закону исключённого третьего — тому, который Аристотель считал первоосновой мышления.

Двадцать два века

В предисловии ко второму изданию «Критики чистого разума» (1787) Кант написал, что логика со времён Аристотеля не сделала ни шагу и, по всей видимости, закончена. Через шестьдесят лет Буль превратил её в алгебру, ещё через тридцать два Фреге построил язык с кванторами, и от силлогистики остался маленький частный случай.

Осталось при этом главное: мысль, что у рассуждения есть форма и что форму можно изучать отдельно.