Парадокс лжеца

Семь заноз Евбулида

Евбулид из МилетаФалес Милетскийгреческий философ и математик · около 624–546 до н. э.Ему приписывают первое доказательство геометрического утверждения — переход от «так получается» к «так не может не быть». Достоверных текстов не сохранилось, но границу математики принято проводить здесь. — глава мегарской школы, современник и ядовитый оппонент АристотеляАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы.. Диоген Лаэртский приписывает ему семь парадоксов, и по меньшей мере два из них не решены до сих пор.

Лжец. Человек говорит: «то, что я сейчас говорю, — ложь». Если правда — значит, ложь; если ложь — значит, правда.

Куча (сорит). Одно зерно — не куча. Прибавление зерна не превращает не-кучу в кучу. Значит, кучи не бывает.

Лысый. То же самое про волосы, только в обратную сторону.

Рогатый. «Что ты не терял, то имеешь. Рогов ты не терял. Значит, у тебя рога».

Закутанный (он же «Электра»). Ты знаешь своего отца. Перед тобой человек под покрывалом, и это твой отец. Ты его не узнаёшь. Значит, ты знаешь и не знаешь одного и того же человека.

Три последних — про подмену: рогатый играет на разнице между «не терял» и «имел», закутанный — на том, что «знать» относится к человеку, а не к описанию. Их разбирают за пять минут, и Аристотель это делает.

Лжец и куча — другого сорта. Их не разоблачить, показав пальцем на подмену. В них не за что зацепиться, потому что подмены нет.

Почему это не игра слов

Соблазн отмахнуться: мало ли что можно сказать по-гречески.

Отмахнуться не выходит, и вот почему. Сведём парадокс к минимуму. Пусть $L$ — предложение, и пусть оно утверждает ровно следующее:

$$L:\quad \text{«предложение } L \text{ ложно»}.$$

Для этого нужны всего две вещи, обе на вид совершенно невинные:

1. Язык умеет говорить о себе — то есть у нас есть способ назвать предложение внутри самого языка.
2. В языке есть слово «ложно» — предикат истинности, применимый к любому предложению.

И всё. Никакой хитрости, никаких скрытых допущений. А дальше — противоречие, из которого по правилам логики выводится что угодно.

Античность отнеслась к этому серьёзнее, чем можно подумать. Хрисипп написал о лжеце не меньше шести книг (все утрачены). Про поэта и грамматика Филета Косского рассказывали, что он иссох от бессонницы, пытаясь разрешить парадокс, и что на его надгробии значилось: «Филета Косского я. Лжец меня уморил, и бессонные ночи тому виной».

Чем это кончилось

Двадцать три века парадокс числился курьёзом на границе логики и филологии. Потом произошли три вещи, и все — в первой половине XX века.

1902: Рассел пишет Фреге. Множество всех множеств, не содержащих себя, — тот же лжец, переведённый с языка предложений на язык множеств. И на этот раз он ломает не разговор, а построенную математическую теорию.

1931: Гёдель. Замените «ложно» на «недоказуемо». Получится предложение «я недоказуемо». Противоречия больше нет: если система непротиворечива, это предложение просто истинно и недоказуемо. Парадокс, у которого убрали одно слово, перестал быть парадоксом и стал теоремой — главной теоремой о границах математики.

1933: Тарский. Диагноз поставлен: виновато не самоописание, а второй пункт — предикат истинности. Достаточно богатый язык не может содержать определение собственной истины. Говорить об истине предложений языка можно только на языке более высоком.

ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет. и ТарскийАльфред Тарскийпольско-американский логик и математик · 1901–1983Дал первое строгое определение слова «истинно» — и тут же доказал, что внутри самого языка такое определение невозможно; уехал из Польши за три недели до войны, читая доклад в Гарварде. используют один и тот же приём Евбулида — и получают противоположные результаты, потому что «недоказуемо» проверяется перебором доказательств, а «ложно» — ничем.

А куча жива до сих пор

С соритом всё хуже. Он не сводится ни к самоописанию, ни к предикату истинности: он про то, что у слова «куча» нет резкой границы, а логика требует, чтобы у каждого предложения было ровно одно из двух значений.

Из попыток разобраться выросла отдельная математика: многозначные логики (Лукасевич, Варшава, 1920 — три значения вместо двух) и нечёткие множества (Заде, 1965 — принадлежность множеству измеряется числом от нуля до единицы). Второе работает сегодня в системах управления и в машинном обучении. Заноза из Милета оказалась производственной технологией.

Следующая точка: Афины — где парадоксом займётся человек, построивший вторую античную логику, ту, что ближе к нашей.