Письмо Рассела: фундамент выбит

Письмо

16 июня 1902 года Бертран Рассел, двадцати девяти лет, пишет в Йену человеку, работы которого он открыл для себя несколько месяцев назад. Письмо начинается с комплиментов и заканчивается вопросом, от которого у адресата ушла земля из-под ног.

Вот содержание вопроса, изложенное так, как оно излагается сегодня.

Свойства задают множества: свойству «быть чётным» отвечает множество чётных чисел. Множества сами могут быть элементами других множеств. Значит, про множество можно спросить, содержит ли оно само себя. Множество всех чайных ложек ложкой не является — само себя не содержит. Множество всех мыслимых понятий само есть мыслимое понятие — содержит.

Рассмотрим теперь

$$R = \{\, x \mid x \notin x \,\}$$

— множество всех множеств, которые себя не содержат. И спросим: $R \in R$?

• Если $R \in R$, то $R$ обладает определяющим свойством, то есть $R \notin R$.
• Если $R \notin R$, то $R$ обладает определяющим свойством, то есть $R \in R$.

Противоречие. И не где-нибудь: Евбулидов лжец сломал разговор, а этот ломает математическую теорию. Причём из противоречия по правилам логики выводится что угодно — в системе Фреге доказуемо всё подряд, включая $0=1$.

Откуда это берётся у ФрегеГотлоб Фрегенемецкий логик, математик и философ · 1848–1925В книжке на 88 страниц построил язык, на котором математика записывает свои утверждения по сей день, — и получил при жизни столько внимания, сколько получают неудачники.

Пятый из основных законов «Grundgesetze» разрешал переходить от понятия к его объёму — множеству предметов, к которым понятие приложимо, — и делал это без всяких ограничений. Всякое свойство задаёт множество. Такое допущение и называется неограниченной свёрткой.

Возьмите свойство «$x \notin x$» — и получите $R$.

Разрушение точечное: убрать закон V нельзя, на нём висит всё определение числа; оставить нельзя, он противоречив.

Ответ

Фреге ответил через шесть дней, 22 июня. Он сразу признал: возражение бьёт в самое основание, и не только его собственное — под вопросом оказывается всякий переход от понятия к множеству.

Второй том «Grundgesetze» был в типографии; остановить печать Фреге не мог и вписал послесловие:

Вряд ли с научным писателем может случиться что-либо худшее, чем когда после завершения труда у него оказывается поколеблено одно из оснований постройки. В такое положение поставило меня письмо господина Бертрана Рассела, когда печатание тома уже подходило к концу.

Дальше на двенадцати страницах он излагает парадокс — аккуратнее и яснее, чем это сделал Рассел, — и предлагает поправку к пятому закону. Поправка не спасла: в 1938 году Станислав Лесневский показал, что в исправленном виде система доказывает, что предметов существует не больше одного.

Логицизм Фреге на этом кончился. В последние годы жизни он писал, что источник арифметики надо искать не в логике, а в геометрии, — то есть отказался от дела всей жизни.

Кто ещё знал

Парадокс висел в воздухе, и Рассел был не первым.

• Чезаре Бурали-Форти, 1897: множество всех порядковых чисел само вполне упорядочено, значит имеет порядковый номер, который больше любого из них, включая себя.
• КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя., 1899: в письме ДедекиндуРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. он говорит о «неконсистентных множествах» — совокупностях, слишком больших, чтобы быть множествами. Диагноз, поставленный за три года до Рассела, но не опубликованный.
• Цермело, Гёттинген, около 1899–1902: тот же парадокс о множестве всех множеств, не содержащих себя, найден независимо и обсуждался в кругу ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.. Он его не напечатал; сохранилась запись Гуссерля от апреля 1902 года.
• Гильберт, отвечая Фреге в 1903 году, заметил, что подобные противоречия были известны в Гёттингене и что он знает более убедительные.

Совпадение неслучайно: как только теория множеств Кантора стала общим языком, вопрос «а есть ли множество всех множеств» задал себе всякий, кто вглядывался в основания.

Что делать: три программы

Дальше математика раскалывается на три школы, и следующие тридцать лет — это их спор.

Логицизм. Рассел решает не отказываться от программы Фреге, а починить её: запретить самоприменение синтаксически. Так рождается теория типов и десять лет работы над «Principia Mathematica».

Интуиционизм. Брауэр объявляет, что причина глубже: математика вообще не должна оперировать законченными бесконечностями и неконструктивными доказательствами. Заодно под запрет попадает закон исключённого третьего для бесконечных множеств.

Формализм. Гильберт предлагает: аксиоматизируем всё, а затем финитными, заведомо безопасными средствами докажем, что противоречие вывести нельзя. Тогда бесконечностью можно пользоваться спокойно — как удобным приёмом, надёжность которого удостоверена извне.

Параллельно идёт работа попроще и понадёжнее: Цермело выписывает аксиомы теории множеств так, чтобы неограниченной свёртки в них не было. Именно этот путь и оказался рабочим — сегодня почти вся математика формально живёт в ZFC.

А чем кончился спор трёх школ, решится в Кёнигсберге в 1930 году.

Следующая точка: Гёттинген — где список аксиом теории множеств выпишут так, чтобы неограниченной свёртки в нём не было.