Цермело: аксиома выбора и первая аксиоматика множеств

Одна страница, поднявшая всех

КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. считал очевидным, что всякое множество можно вполне упорядочить — расставить его элементы так, чтобы во всяком непустом куске нашёлся наименьший (как у натуральных чисел, и в отличие от целых или рациональных). Обосновать он этого не сумел, а ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. включил вопрос в первую из двадцати трёх проблем.

24 сентября 1904 года Эрнст Цермело, тридцатитрёхлетний приват-доцент в Гёттингене, пишет Гильберту письмо с доказательством. Оно занимает страницу и опирается на одно допущение, сформулированное явно:

для всякого семейства непустых множеств существует функция, сопоставляющая каждому множеству семейства один из его элементов.

Это и есть аксиома выбора.

Реакция была невиданной. В течение года против выступили БорельЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши., Бэр, ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами., ПеаноДжузеппе Пеаноитальянский математик и логик · 1858–1932Аксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. и ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — то есть, по существу, весь цвет французской школы. Возражали не против логики доказательства, а против самой аксиомы: она утверждает, что выбор существует, не давая никакого способа его сделать. Как выразился Борель, это ничем не лучше, чем предполагать существование самого вполне упорядочения.

Ирония в том, что аксиомой выбора все они уже пользовались — молча, не замечая. Лебег применял её в теории меры, Борель — в теории функций. Скандал возник не оттого, что появилось новое допущение, а оттого, что старое привычное допущение впервые выписали.

Ботинки и носки

Почему её так трудно почувствовать, лучше всех объяснил РасселБертран Расселанглийский логик, философ и общественный деятель · 1872–1970Тремя строчками разрушил дело чужой жизни, десять лет чинил сломанное, а потом ушёл из математики в философию и политику — и получил Нобелевскую премию по литературе..

Пусть у вас бесконечно много пар ботинок. Выбрать по одному из каждой пары легко: скажите «беру левый» — и правило задано, аксиома не нужна.

Пусть теперь у вас бесконечно много пар носков. Носки в паре неразличимы, сказать «беру левый» нельзя, никакого правила нет. Утверждение, что набор всё-таки существует, — и есть аксиома выбора.

Для конечного числа пар она не нужна никогда: выбираем по одному, потом ещё по одному, и через конечное число шагов заканчиваем. Аксиома начинает работать ровно там, где шагов бесконечно много.

Ответ 1908 года: аксиоматика

Отбиваясь, Цермело в 1908 году публикует сразу два сочинения: новое доказательство теоремы о вполне упорядочении с семнадцатью страницами разбора возражений — и работу, ставшую куда важнее исходного спора: первую аксиоматику теории множеств.

Ход рассуждения такой. Парадокс Рассела возникает из неограниченной свёртки: «всякое свойство задаёт множество». Значит, свёртку надо ограничить. Цермело заменяет её схемой выделения: свойство не создаёт множество из ничего, а лишь выделяет подмножество из уже имеющегося множества.

$$\{\, x \in A \mid \varphi(x) \,\}\quad\text{— можно};\qquad \{\, x \mid \varphi(x) \,\}\quad\text{— нельзя}.$$

Этого достаточно. Расселово $R = \{x \mid x \notin x\}$ построить больше не удаётся, а если взять $R_A = \{x \in A \mid x \notin x\}$ для какого-нибудь множества $A$, то противоречия не выходит — получается лишь безобидный вывод, что $R_A \notin A$. То есть: никакое множество не содержит всех множеств. Парадокс превратился в теорему.

Аксиом у Цермело семь: объёмность (множество определяется своими элементами), элементарные множества, выделение, множество-степень, объединение, бесконечность и выбор.

Дальше систему дважды достраивали. В 1922 году Абрахам Френкель и независимо Туральф Сколем добавили схему замещения (образ множества при функции — множество), позже к ним прибавилась аксиома регулярности. Получилась ZF, а с аксиомой выбора — ZFC: тот самый фундамент, на котором формально стоит сегодня почти вся математика. Буква C в конце — от английского choice.

Что стоит аксиома выбора

Она нужна больше, чем кажется. Без неё нельзя доказать:

• что у всякого векторного пространства есть базис;
• что во всяком кольце с единицей есть максимальный идеал;
• что произведение непустых множеств непусто;
• что произведение компактов компактно (теорема ТихоноваАндрей Николаевич Тихоновсоветский математик и геофизик · 1906–1993В двадцать лет доказал, что произведение любого числа компактов компактно; через сорок лет научил решать задачи, которые Адамар объявил не имеющими смысла, — и без этого не работала бы ни томография, ни… — она аксиоме выбора попросту равносильна);
• что счётное объединение счётных множеств счётно;
• что всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Последние два обычно приводят как решающий довод: без выбора рушится даже элементарная теория множеств.

А расплата видна в конструкциях Витали и Банаха — Тарского: существует множество на прямой, у которого нет длины, а шар можно разрезать на конечное число кусков и собрать из них два таких же шара. Куски при этом неизмеримы — их «объёма» не существует, поэтому противоречия с сохранением объёма нет; есть противоречие с интуицией.

Развязка через полвека

Спор о том, «верна» ли аксиома выбора, закончился так же, как спор о континуум-гипотезе, — и теми же двумя людьми.

• ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет., 1938: если ZF непротиворечива, то и ZFC непротиворечива. Аксиому выбора нельзя опровергнуть.
• Коэн, 1963: её нельзя и доказать.

Аксиома выбора независима. Вопрос «правда ли это» оказался поставлен неверно: это не факт о мире, а развилка, на которой можно свернуть в любую сторону. Подавляющее большинство математиков сворачивает направо и работает в ZFC — потому что без выбора теряется слишком много, а платить приходится лишь неудобными примерами, которые всё равно нельзя предъявить явно.

Судьба самого Цермело сложилась невесело: болезнь лёгких заставила его в 1916 году оставить кафедру в Цюрихе, а во Фрайбурге он в 1935 году лишился права преподавать, отказавшись приветствовать студентов по нацистскому образцу. Восстановлен он был в 1946-м, за семь лет до смерти.

Следующая точка: Болонья и Львов — где станет видно, во что обходится удобство.