Карта → линии → сквозной сюжет

Двадцать три проблемы

список 1900 года и те, кто на него ответил

8 августа 1900 года на Втором международном конгрессе математиков в Париже Гильберт называет задачи, которыми, по его мнению, стоило бы заняться новому веку. В самом докладе прозвучало десять, в печатной версии их стало двадцать три. Это не был опрос коллег и не претензия на полноту — личный список одного человека, оказавшийся точным: добрая половина развязок на этой карте есть ответы на парижские вопросы.

Метод, которым список потом и решали, Гильберт придумал сам годом раньше, в «Основаниях геометрии»: чтобы доказать, что утверждение вывести нельзя, строят модель, в которой оно ложно. Приём изобрели геометры, воюя с пятым постулатом; в руках логиков он закрыл первую проблему.

Отвечали по-разному и не тем, чего ждали. Третью Ден закрыл за считанные месяцы — первая вычеркнутая строка списка. Седьмую Гельфонд решил через тридцать четыре года, десятую Матиясевич — через семьдесят, и обе оказались решены отрицательно. Шестую — аксиоматизировать вероятность — решали дважды: Бернштейн в 1912-м через сравнение событий, Колмогоров в 1933-м через меру. Пятая всплывала снова и снова, от меры Хаара до киевской докторской Глушкова. Первая и вторая получили ответы, которых Гильберт не предполагал вовсе: «ни да ни нет» и «изнутри нельзя» — а Генцен ещё и точно измерил, насколько именно нужно выйти наружу.

Восьмая — про нули дзета-функции, простых-близнецов и Гольдбаха — открыта до сих пор. Это единственная строка списка, по которой счёт идёт прямо сейчас.

Открыть на карте

1

Кёнигсберг 1888–1893
«Это не математика, это теология»
Рамка: откуда взялся список

Гильберт доказывает теорему о базисе неконструктивно — чистым существованием, не предъявляя базиса. Возглас Гордана стал крылатым; это момент, когда алгебра приняла доказательства существования.
2

Гёттинген 1899
Гильберт: «Основания геометрии»
Рамка вторая: метод, которым список будут решать, — доказать независимость, построив модель

Двадцать одна аксиома вместо пяти постулатов — и требование, чтобы смысл слов «точка» и «прямая» нигде в доказательстве не использовался. Заодно обнаруживается неожиданное: каждой геометрической аксиоме отвечает алгебраическое свойство координат, и теорема Паппа оказывается коммутативностью умножения, записанной фигурами.
3

Гёттинген теорема о вполне упорядочении — 1904, аксиоматика — 1908
Цермело: аксиома выбора и первая аксиоматика множеств
Первая, её вторая половина: вполне упорядочение доказано — ценой аксиомы выбора

Доказательство на одну страницу вызывает самый громкий скандал в основаниях за век. Отбиваясь от критиков, Цермело выписывает теорию множеств списком аксиом — и получается фундамент, на котором математика стоит по сей день.
4

Мюнстер 1910–1911
Ден: лемма о диске и проблема тождества слов
Третья: решена в 1900-м за считанные месяцы — первая закрытая строка списка

Две работы подряд. Первая переводит вопрос «одинаковы ли два узла» на язык фундаментальных групп и вводит хирургию. Вторая ставит три задачи о группах, заданных образующими и соотношениями, — и первая из них через сорок четыре года окажется алгоритмически неразрешимой.
5

Харьков 1912 и 1917
Бернштейн: полиномы и первая аксиоматика вероятности
Шестая: первая попытка аксиоматизировать вероятность

Две вещи в одной точке. Полиномы Бернштейна доказывают теорему Вейерштрасса о приближении вероятностным рассуждением — и сегодня живут как кривые Безье. А «Опыт аксиоматического обоснования» на шестнадцать лет опережает Колмогорова, но строится на сравнении вероятностей, а не на мере.
6

Кёнигсберг 7 сентября 1930
Кёнигсберг, 7 сентября 1930
Вторая проблема: доказать непротиворечивость нельзя

На круглом столе двадцатичетырёхлетний Гёдель в проходной реплике объявляет, что во всякой достаточно богатой формальной системе есть истинные, но недоказуемые утверждения. Реплику замечает один человек в зале. Назавтра в том же городе Гильберт произносит «мы должны знать — мы будем знать».
7

Сегед система — Гёттинген, 1910; мера — 1933
Хаар: простейший базис — и мера для пятой проблемы
Мера Хаара, из которой фон Нейман получил пятую проблему для компактных групп

Система из ступенек: первый ортонормированный базис, у которого коэффициент говорит не обо всей функции, а о месте. Это вейвлет за семьдесят лет до вейвлетов. Двадцать три года спустя тот же человек строит меру на группе, из которой фон Нейман получает пятую проблему Гильберта для компактных групп.
8

Москва 1933
«Grundbegriffe»: вероятность = мера
Шестая: вероятность аксиоматизирована через меру

Колмогоров аксиоматизирует вероятность как теорию меры — ту самую, что выросла из рядов Фурье через Лебега. Вся современная вероятность стоит на этой книге.
9

Москва 1934
Гельфонд: седьмая проблема Гильберта
Седьмая: трансцендентность доказана

Число $2^{\sqrt2}$ трансцендентно, и вместе с ним — целый класс степеней. Гильберт публично считал эту задачу более трудной, чем гипотеза Римана и теорема Ферма, и полагал, что никто в зале до её решения не доживёт. Он ошибся на пятнадцать лет.
10

Гёттинген натуральный вывод и секвенции — 1934–1935, непротиворечивость арифметики — 1936
Генцен: непротиворечивость арифметики, доказанная извне
Вторая, положительная половина: непротиворечивость доказуема извне — и видно, насколько именно извне

Вторая теорема Гёделя запрещает арифметике доказать собственную непротиворечивость. Генцен доказывает её, выйдя за пределы арифметики ровно на один шаг — и тем самым точно измеряет, насколько именно не хватает средств. Попутно он придумывает тот способ записи доказательств, которым логику преподают сегодня.
11

Москва 1937
Виноградов: тернарная проблема Гольдбаха
Восьмая: тернарный Гольдбах — почти-ответ через 195 лет

Всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых. Метод тригонометрических сумм позволил обойтись без недоказанной гипотезы Римана — и стал вторым по значению инструментом аналитической теории чисел после дзета-функции. Вопрос задан в Москве в 1742-м, почти-ответ получен там же через 195 лет.
12

Стэнфорд Принстон, 1940; Стэнфорд, 1963
Гёдель и Коэн: вопрос без ответа
Первая: ни да, ни нет

Есть ли мощность между счётной и континуумом? Гёдель показывает, что «нет» опровергнуть нельзя, Коэн — что доказать тоже нельзя. Вопрос, которому Кантор посвятил жизнь, оказывается неразрешимым в принципе.
13

Москва 1956–1957
Колмогоров и Арнольд: тринадцатая проблема Гильберта
Тринадцатая: ответ обратный ожидаемому

Любая непрерывная функция многих переменных — суперпозиция непрерывных функций одной переменной и сложения. Гильберт ждал обратного. Арнольду девятнадцать лет, он студент.
14

Санкт-Петербург Ленинград, 1958–1969
Ладыженская: уравнения Навье — Стокса
Девятнадцатая: гладкость решений

Двумерный случай закрыт полностью — существование, единственность, гладкость; трёхмерный остаётся задачей тысячелетия. Рядом теория Ладыженской и Уральцевой, закрывшая девятнадцатую проблему Гильберта вместе с Де Джорджи и Нэшем.
15

Киев 1962
Глушков: кибернетика и ОГАС
Пятая ещё раз: докторская 1955 года — своя версия ответа, после которой автор ушёл в кибернетику

Человек, решивший одну из версий пятой проблемы Гильберта, а потом придумавший алгоритм, который сегодня работает в каждом движке регулярных выражений, — и предложивший связать всю экономику страны в единую сеть вычислительных центров за семь лет до ARPANET. Первое сбылось, второе работает, третье не состоялось.
16

Санкт-Петербург 1970
Десятая проблема Гильберта: ответ — «нет»
Десятая: алгоритма не существует

Двадцатидвухлетний ленинградский аспирант замыкает многолетнюю цепочку и доказывает: универсального алгоритма, определяющего разрешимость уравнений в целых числах, не существует. Множества решений диофантовых уравнений — в точности перечислимые множества, и поэтому гёделевская неразрешимость обнаруживается в самом классическом объекте математики.
17

Дарем (Нью-Гэмпшир) 17 апреля 2013
Чжан Итан: промежутки между простыми ограничены
Восьмая: единственная строка списка, где счёт идёт до сих пор

Существует бесконечно много пар простых, отличающихся не больше чем на 70 миллионов. Первое в истории безусловное продвижение к гипотезе о близнецах — и сделано человеком, полтора десятилетия не имевшим научной должности.