Чжан Итан: промежутки между простыми ограничены

Вопрос

Простые числа редеют: около $x$ расстояние между соседними в среднем равно $\ln x$. Гипотеза о близнецах утверждает, что при этом бесконечно много раз расстояние равно двум — то есть встречаются сколь угодно далёкие пары $(p,p+2)$.

Гипотеза известна с античности в виде наблюдения и с XIX века в виде формулировки. К 2013 году не было доказано ничего — даже того, что бесконечно много раз расстояние остаётся меньше какой бы то ни было фиксированной границы. Формально: не было известно, конечен ли

$$\liminf_{n\to\infty}\ (p_{n+1}-p_n).$$

Ближе всех подошли Голдстон, Пинц и Йылдырым (2005): они доказали, что $\liminf (p_{n+1}-p_n)/\ln p_n=0$, то есть промежутки бывают сколь угодно малыми по сравнению со средним. И показали, что ограниченность промежутков следовала бы из гипотезы Эллиотта — Халберстама — усиления теоремы Бомбьери — Виноградова, недоказанного и по сей день.

Не хватало «чуть-чуть»: показателя распределения простых по прогрессиям чуть больше $1/2$, тогда как теорема Бомбьери — ВиноградоваИван Матвеевич Виноградовсоветский математик · 1891–1983Придумал метод тригонометрических сумм и доказал им тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел — впервые взяв аддитивную задачу о простых без всяких недоказанных гипотез. даёт ровно $1/2$.

Кто это сделал

Чжан Итан (род. 1955) защитил диссертацию в Университете Пердью в 1991 году, но академической карьеры не получилось. Несколько лет он работал где придётся — бухгалтером, курьером, в закусочной сети Subway у знакомого. Только в 1999 году он получил место преподавателя (lecturer, без исследовательских обязанностей) в Университете Нью-Гэмпшира в городке Дарем и вёл там начальные курсы.

Ему было пятьдесят восемь, когда он подал статью «Bounded gaps between primes» в «Annals of Mathematics» — 17 апреля 2013 года. Журнал, куда рукописи обычно идут больше года, принял её через три недели. Рецензенты писали, что основные результаты верны и доказательства безупречны.

Теорема Чжана. Существует такое $H<7\cdot10^{7}$, что $p_{n+1}-p_n<H$ для бесконечно многих $n$.

Число 70 миллионов не имеет никакого смысла само по себе — это первая граница, которую удалось выписать. Значение имело слово «конечно»: разница между «конечно» и «неизвестно» здесь такая же, как между «конечно» и «ноль» в теореме Фальтингса.

Как

Чжан не стал доказывать гипотезу Эллиотта — Халберстама. Он заметил, что для схемы Голдстона — Пинца — Йылдырыма нужна не вся её сила: достаточно распределения по модулям специального вида — свободным от больших простых множителей («гладким»). А для таких модулей оценку удалось получить безусловно.

Технически это потребовало оценок сумм Клостермана, опирающихся на доказанные Делинем гипотезы ВейляГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения., — то есть на алгебраическую геометрию над конечными полями. Ещё один случай, когда вопрос о простых числах решается средствами совсем другой науки; на этой линии он далеко не первый.

Что было дальше — и очень быстро

История получила продолжение, редкое по темпу.

Срок	Граница	Кто
май 2013	70 000 000	Чжан
лето 2013	4 680	проект Polymath8a (координатор ТеренсТеренс Таоавстралийско-американский математик · род. 1975Доказал вместе с Беном Грином, что среди простых чисел есть арифметические прогрессии любой длины. Работает разом в десятке областей и в каждой считается своим. Тао)
ноябрь 2013	600	Джеймс Мейнард, независимо и другим методом
2014	246	Polymath8b

Мейнард (и одновременно Тао) нашли иную конструкцию решётных весов — более гибкую и не требующую тяжёлой техники Чжана. Их метод даёт вдобавок ограниченные промежутки для любого числа простых сразу: для всякого $m$ существует граница, внутри которой бесконечно часто помещается $m$ простых.

Нынешний рекорд — 246. В предположении гипотезы Эллиотта — Халберстама он снижается до 12, а в её обобщённой форме — до 6. До двойки, то есть до самой гипотезы о близнецах, ни один известный метод не дотягивается: мешает уже встречавшийся паритетный барьер решётных методов, который не преодолён с 1949 года.

Проект Polymath, к слову, — самостоятельный сюжет: открытая коллективная работа математиков в блоге, где вклад вносят десятки людей, а результат публикуется под общим псевдонимом. Модель, придуманная Тимоти Гауэрсом в 2009 году, впервые дала здесь результат первой величины.

Чжан получил премию Островского (2013), премию Коула (2014), премию Рольфа Шока (2014) и стипендию Макартура; с 2015 года он профессор Калифорнийского университета в Санта-Барбаре.

Замыкание круга

Здесь линия заканчивается, и стоит перечислить, что в ней сошлось.

Первое: вопрос не изменился, изменились средства. «Как расположены простые числа?» — это вопрос Евклида, заданный за 2300 лет до этой точки. Ответы шли по нарастающей: их бесконечно много (ЕвклидЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего.); их асимптотически $x/\ln x$ (Адамар и Валле-Пуссен); они равномерно распределены по прогрессиям (Дирихле); отклонения от равномерности управляются нулями дзета-функции (Риман); среди них есть сколь угодно длинные прогрессии (Грин и Тао); и бесконечно часто они стоят вплотную (эта точка). Каждый следующий ответ требовал математики, которой при предыдущем не существовало.

Второе: чужие средства оказались сильнее своих. Ни один из перечисленных результатов не получен «изнутри» арифметики. ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. применил ряды, ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. — гармонический анализ, РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. — теорию функций комплексного переменного, Виноградов — оценки экспоненциальных сумм, МорделлЛуис Морделлбританский математик · 1888–1972Доказал, что рациональные точки эллиптической кривой образуют конечно порождённую группу, — и высказал гипотезу о том, что на кривых большего рода таких точек конечное число. Гипотезу доказали через шестьдесят… и ФальтингсГерд Фальтингснемецкий математик · род. 1954Доказал гипотезу Морделла: у кривой рода не меньше двух рациональных точек конечное число. Заодно доказал ещё две крупные гипотезы, о которых его не просили. Профессором стал в двадцать восемь лет. — алгебраическую геометрию, Грин и Тао — эргодическую теорию, Чжан — гипотезы Вейля над конечными полями. Целые числа поддаются только тому, кто выходит за их пределы.

Третье: закрытые задачи порождают больше вопросов, чем закрывают. Великая теорема Ферма доказана — и по дороге создана теория, из которой выросла программа Ленглендса. Десятая проблема Гильберта решена отрицательно — и выяснилось, что диофантовы уравнения кодируют любую вычислимую процедуру. Гипотеза Морделла доказана — и осталась открытой гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера о рангах, тоже входящая в задачи тысячелетия.

Четвёртое: сроки здесь измеряются веками, и это норма. Половину теоремы о совершенных числах доказал Евклид, вторую — Эйлер через две тысячи лет. Критерий простоты сформулировал Ибн аль-ХайсамИбн аль-Хайсамарабский математик, физик и астроном · около 965 — около 1040Посчитал сумму четвёртых степеней и доказал её индукцией за шесть веков до того, как индукцию назвали; заодно объяснил, что мы видим не глазами, испускающими лучи, а светом, входящим в глаз. около 1000 года, доказал ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. в 1771-м. Замечание ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. на полях закрыто через 357 лет. Гипотезу Морделла — через 61 год. Задача, поставленная ФибоначчиЛеонардо Пизанскийитальянский математик · около 1170 — около 1250Привёз в Европу индийские цифры, нуль и счёт пером вместо жетонов на доске; кролики из двенадцатой главы — побочная задача, прославившая его через шестьсот пятьдесят лет. в 1225 году, упирается сегодня в нерешённую задачу тысячелетия.

Пятое, и его стоит помнить школьнику. Три самых знаменитых вопроса этой линии — о простых-близнецах, о гипотезе ГольдбахаХристиан Гольдбахнемецкий и российский учёный, дипломат · 1690–1764Профессиональным математиком не был; его роль оказалась важнее — он читал Ферма и не давал Эйлеру покоя. Гипотеза, высказанная им на полях письма, не доказана 283 года. и о гипотезе Римана — понятны без всякой подготовки и не решены. Первым двум около трёхсот лет, третьему полтора века. Из семи задач тысячелетия две относятся к теории чисел, и ни одна не решена. Наука, начатая с глиняной таблички из Ларсы, остаётся самой открытой областью математики — и последняя её точка поставлена преподавателем начальных курсов, которому было пятьдесят восемь.

Задача. Выпишите все пары простых-близнецов до 100 и посмотрите на расстояния между самими парами. (Ответ: $(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73)$ — восемь пар. Заметьте, что кроме пары $(3,5)$ все близнецы имеют вид $(6k-1,6k+1)$: докажите это, разобрав остатки по модулю 6.)