Дирихле: простые в прогрессиях

Вопрос

Простых чисел бесконечно много — это знал Евклид. А если брать не все подряд, а только те, что дают заданный остаток? Бесконечно ли много простых, оканчивающихся на 7? Имеющих вид $4k+1$?

Для отдельных прогрессий ответ получается школьными средствами: приём ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. работает для $4k+3$ и $6k+5$ (см. задачу в точке о Евклиде). Но для $4k+1$ он уже не проходит, а общего случая элементарными методами не берёт никто до сих пор.

Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) решил задачу в общем виде в 1837 году, представив работу Берлинской академии.

Теорема Дирихле. Если $\gcd(a,d)=1$, то прогрессия $a,\ a+d,\ a+2d,\dots$ содержит бесконечно много простых чисел.

Более того, простые распределяются между допустимыми классами вычетов поровну: доля простых, сравнимых с $a$ по модулю $d$, равна $1/\varphi(d)$.

Как это доказывается

Отправная точка — эйлерово произведение и вывод из него, что $\sum_p 1/p$ расходится. Хочется доказать, что расходится и сумма по простым из одной прогрессии:

$$\sum_{p\equiv a\ (\mathrm{mod}\ d)}\frac1p=\infty .$$

Трудность в том, как выделить из всех простых нужный класс. Дирихле придумывает приём, ставший образцом для всей дальнейшей математики.

Характеры. Характер по модулю $d$ — это функция $\chi:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$, периодическая с периодом $d$, мультипликативная ($\chi(mn)=\chi(m)\chi(n)$) и равная нулю на числах, не взаимно простых с $d$. Таких функций ровно $\varphi(d)$, и они удовлетворяют соотношению ортогональности:

$$\frac{1}{\varphi(d)}\sum_{\chi}\overline{\chi(a)}\,\chi(n)=\begin{cases}1,&n\equiv a\pmod d,\\ 0,&\text{иначе}.\end{cases}$$

Это фильтр: сумма по всем характерам «включает» нужный класс вычетов и «выключает» остальные. По существу перед нами преобразование ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. на конечной группе $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{*}$ — за семьдесят лет до того, как гармонический анализ на группах будет построен.

L-функции. Каждому характеру сопоставляется ряд

$$L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}=\prod_{p}\frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}},$$

причём произведение по простым получается точно так же, как у ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., — благодаря мультипликативности $\chi$ и единственности разложения на множители.

Схема доказательства. Логарифмируем произведение, суммируем по характерам с весами $\overline{\chi(a)}$ и получаем

$$\sum_{p\equiv a}\frac{1}{p^{s}}=\frac{1}{\varphi(d)}\sum_{\chi}\overline{\chi(a)}\,\log L(s,\chi)+O(1).$$

При $s\to1^{+}$ главный (тривиальный) характер даёт $\log\zeta(s)\to\infty$. Остаётся показать, что остальные слагаемые остаются ограниченными, то есть что

$$L(1,\chi)\ne0\quad\text{для всех нетривиальных }\chi .$$

Вот это и есть трудное место. Для комплексных характеров оно относительно несложно; для вещественных (принимающих только значения $0,\pm1$) — существенно труднее, и Дирихле доказал его, связав $L(1,\chi)$ с числом классов квадратичных форм из «Disquisitiones». Получилась знаменитая формула числа классов, соединившая аналитическую величину с алгебраической.

Обратите внимание на устройство доказательства: чтобы установить утверждение о целых числах, вводится семейство аналитических функций, и всё сводится к тому, что одно значение одной функции не равно нулю. Этот способ рассуждать — главное наследство точки.

Что было дальше

Теорема Дирихле оказалась началом длинной серии уточнений.

• Валле-ПуссенШарль Жан де ла Валле-Пуссенбельгийский математик · 1866–1962Доказал теорему о распределении простых чисел одновременно с Адамаром и независимо от него, а через три года первым получил оценку остаточного члена — то есть не только «сколько», но и «с какой точностью». (1896–1899): не просто бесконечность, а асимптотика — $\pi(x;d,a)\sim\dfrac{1}{\varphi(d)}\dfrac{x}{\ln x}$.
• Пейдж, Зигель, Вальфиш (1930-е): равномерные оценки, но с неэффективной константой — знаменитая проблема «зигелевых нулей», не решённая до сих пор.
• Линник (1944): первое простое в прогрессии не превосходит $d^{L}$ с абсолютной константой $L$; современное значение — $L\leqslant5$. Тот же Линник построил и «большое решето», из которого выросла вся техника оценок в среднем.
• Бомбьери и ВиноградовИван Матвеевич Виноградовсоветский математик · 1891–1983Придумал метод тригонометрических сумм и доказал им тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел — впервые взяв аддитивную задачу о простых без всяких недоказанных гипотез. (1965): теорема, дающая «в среднем» то, что дала бы обобщённая гипотеза РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.. Именно она позволила Чэню доказать его теорему о ГольдбахеХристиан Гольдбахнемецкий и российский учёный, дипломат · 1690–1764Профессиональным математиком не был; его роль оказалась важнее — он читал Ферма и не давал Эйлеру покоя. Гипотеза, высказанная им на полях письма, не доказана 283 года., а Чжану — теорему об ограниченных промежутках между простыми.

Дирихле помимо этого

Он же ввёл современное определение функции как произвольного соответствия (см. спор о колеблющейся струне в линии анализа), доказал первый строгий признак сходимости ряда Фурье, доказал теорему о единицах в кольце целых алгебраических чисел и сформулировал принцип ящиков (Schubfachprinzip). Последний в теории чисел работает постоянно; вот его классическое применение:

Теорема Дирихле о приближении. Для любого иррационального $\alpha$ существует бесконечно много дробей $p/q$ с $\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2}}$.

Доказательство: разбить единичный отрезок на $Q$ частей и рассмотреть дробные доли $\{\alpha\},\{2\alpha\},\dots,\{Q\alpha\}$; две из них попадут в один ящик. Из этой теоремы, кстати, следует, что уравнение Пелля всегда имеет решение — и круг с Ариабхатой и Бхаскарой замыкается.

Задача. Докажите приёмом Евклида, что простых вида $6k+5$ бесконечно много, и объясните, почему тот же приём не работает для $6k+1$.
(Указание: рассмотрите $N=6p_1\cdots p_k-1$. Оно имеет вид $6m+5$; все его простые делители, кроме 2 и 3, имеют вид $6k\pm1$, и если бы все были вида $6k+1$, то и произведение имело бы вид $6k+1$. Для прогрессии $6k+1$ такого рассуждения нет: произведение чисел вида $6k+1$ снова такого же вида, и противоречия не возникает.)

Следующая точка: Париж — где впервые предъявят число, про которое доказано, что оно не корень никакого многочлена.