Лиувилль: первые трансцендентные числа

Чего не хватало

Число называется алгебраическим, если оно корень многочлена с целыми коэффициентами: таковы все рациональные, $\sqrt2$, $\sqrt[3]{5}$, золотое сечение. Остальные вещественные числа называются трансцендентными.

К 1844 году положение было неловким. Название придумал ещё ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем».; ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. и Ламберт подозревали, что $e$ и $\pi$ трансцендентны. Но не было предъявлено ни одного трансцендентного числа, и не было доказано, что они вообще существуют. Вся теория висела в воздухе: не исключалось, что всякое вещественное число алгебраично.

Жозеф Лиувилль (1809–1882) закрыл вопрос конструктивно — не рассуждением о том, что таких чисел «должно быть много», а построением конкретного.

Идея: алгебраические числа плохо приближаются

Ход мысли неожиданный и очень изящный. Вместо того чтобы искать свойства трансцендентных чисел, Лиувилль находит свойство алгебраических — а потом строит число, которое им не обладает.

Теорема Лиувилля (1844). Пусть $\alpha$ — иррациональное алгебраическое число степени $n$ (то есть корень неприводимого многочлена степени $n$ с целыми коэффициентами). Тогда существует $c>0$ такое, что для всех рациональных $p/q$
$$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{n}}.$$

Словами: алгебраическое число нельзя приблизить дробью слишком хорошо. Чем выше степень, тем слабее ограничение, но оно всегда есть.

Доказательство, целиком. Пусть $f$ — неприводимый многочлен степени $n$ с целыми коэффициентами и $f(\alpha)=0$. Возьмём дробь $p/q$ (можно считать, что она близка к $\alpha$, скажем $|\alpha-p/q|<1$).

Во-первых, $f(p/q)\ne0$: иначе $p/q$ была бы корнем, а $f$ неприводим и степени $n\geqslant2$. Во-вторых, число $q^{n}f(p/q)$ — целое (знаменатели съедаются), и оно ненулевое, значит

$$\left|f\!\left(\frac pq\right)\right|\ \geqslant\ \frac{1}{q^{n}} .$$

С другой стороны, по теореме о среднем найдётся точка $\xi$ между $\alpha$ и $p/q$ с

$$f\!\left(\frac pq\right)=f\!\left(\frac pq\right)-f(\alpha)=f'(\xi)\left(\frac pq-\alpha\right).$$

Обозначим $M=\max|f'|$ на отрезке $[\alpha-1,\alpha+1]$. Тогда

$$\frac{1}{q^{n}}\leqslant\left|f\!\left(\frac pq\right)\right|\leqslant M\left|\alpha-\frac pq\right| \quad\Longrightarrow\quad \left|\alpha-\frac pq\right|\geqslant\frac{1}{M\,q^{n}} . \qquad\blacksquare$$

Число, которое приближается слишком хорошо

Теперь достаточно построить число, у которого есть сколь угодно хорошие рациональные приближения. Лиувилль берёт

$$L=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{k!}}=\frac1{10}+\frac1{10^{2}}+\frac1{10^{6}}+\frac1{10^{24}}+\cdots$$

$$L=0{,}110001000000000000000001000\ldots$$

Единицы стоят на местах с номерами $1,2,6,24,120,720,\dots$ — на факториальных, и промежутки между ними растут чудовищно быстро.

Оборвём ряд на $m$-м слагаемом: получится дробь $p_m/q_m$ со знаменателем $q_m=10^{m!}$. Хвост оценивается легко:

$$\left|L-\frac{p_m}{q_m}\right|=\sum_{k>m}\frac{1}{10^{k!}}<\frac{2}{10^{(m+1)!}}=\frac{2}{q_m^{\,m+1}} .$$

Вот и всё. Предположим, что $L$ алгебраично степени $n$. Возьмём $m\geqslant n$; тогда

$$\left|L-\frac{p_m}{q_m}\right|<\frac{2}{q_m^{\,m+1}}\leqslant\frac{2}{q_m^{\,n+1}},$$

а теорема требует, чтобы разность была больше $c/q_m^{\,n}$. При растущем $m$ знаменатель $q_m$ растёт неограниченно, и неравенство $\dfrac{2}{q_m^{\,n+1}}>\dfrac{c}{q_m^{\,n}}$ рано или поздно нарушается. Противоречие. $L$ трансцендентно. $\blacksquare$

Числа, допускающие такие сверххорошие приближения, называют теперь числами Лиувилля. Их континуум, но мера множества равна нулю — «почти все» трансцендентные числа устроены иначе.

Что было дальше

1873, ЭрмитШарль Эрмитфранцузский математик · 1822–1901Доказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом.: доказана трансцендентность $e$. Совершенно другой метод — вспомогательная функция и оценки интеграла.

1874, КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя.: алгебраических чисел счётное множество, а вещественных континуум, значит трансцендентных «подавляющее большинство» (точка о Канторе стоит в линии анализа). Доказательство короче лиувиллевского на порядок — но неконструктивно: оно не даёт ни одного примера. Сопоставление двух подходов — классический школьный сюжет о разнице между «существует» и «вот оно».

1882, Линдеман: трансцендентность $\pi$, развив метод Эрмита. Прямое следствие — невозможность квадратуры круга, задачи, поставленной в Афинах в V веке до н. э.

1900, ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.: седьмая проблема — трансцендентен ли $\alpha^{\beta}$? — решена Гельфондом и Шнайдером в 1934-м.

1955, Рот: показатель $n$ в теореме Лиувилля можно снизить до $2+\varepsilon$ и это окончательно: для всякого алгебраического иррационального $\alpha$ и всякого $\varepsilon>0$ неравенство $|\alpha-p/q|<q^{-2-\varepsilon}$ имеет лишь конечное число решений. Филдсовская медаль 1958 года. Двойка здесь неулучшаема: теорема Дирихле о приближении даёт бесконечно много дробей с $|\alpha-p/q|<q^{-2}$ для любого иррационального $\alpha$.

Теорема Рота, к сожалению, неэффективна: она гарантирует конечность числа решений, но не даёт способа их найти. Эффективные оценки появятся только у Бейкера в 1966-м, и вырастут они как раз из метода Гельфонда.

Лиувилль помимо этого

Ему принадлежат теорема о ограниченных целых функциях (всякая ограниченная целая функция постоянна), теорема Лиувилля в механике о сохранении фазового объёма, задача Штурма — Лиувилля — первый в истории спектральный сюжет — и основанный им в 1836 году «Journal de mathématiques pures et appliquées», который выходит до сих пор.

Но в истории математики он остался ещё и человеком, спасшим ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью.. Рукописи двадцатилетнего Эвариста, отвергнутые Академией и пролежавшие четырнадцать лет, Лиувилль разобрал, понял и напечатал в своём журнале в 1846 году. Без этого ночь перед дуэлью осталась бы просто гибелью молодого человека.

Задача. Проверьте, что число $\sum_{k\geqslant1}10^{-k!}$ иррационально, не ссылаясь на трансцендентность. (Указание: его десятичная запись непериодична — расстояния между единицами растут, а у рационального числа запись с некоторого места периодична.)

Следующая точка: Бреслау — где выяснится, что единственность разложения на множители бывает неверна, и её придётся спасать.