Штурм и Лиувилль: первый «спектр»

Задача: струна, которая не однородна

Школьная физика знает однородную струну: закреплена на концах, длина $\ell$, натяжение $T$ и линейная плотность $\rho$ всюду одинаковы. Собственные колебания — синусы, а частоты образуют арифметическую прогрессию:

$$u_{n}(x)=\sin\frac{\pi n x}{\ell},\qquad \omega_{n}=\frac{\pi n}{\ell}\sqrt{\frac{T}{\rho}},\qquad n=1,2,3,\dots$$

Именно из-за этой кратности струна звучит музыкально: обертоны попадают в октаву, квинту, дуодециму. Всё это восходит к спору о колеблющейся струне и к мемуару Фурье.

А теперь пусть струна неоднородна — обвита проволокой у одного конца, как басовая струна рояля; или это стержень переменного сечения; или столб воздуха в трубе с меняющимся диаметром. Плотность $\rho(x)$ и жёсткость $p(x)$ становятся функциями точки. Синусы перестают быть решениями, и явной формулы больше нет ни для одной частоты.

Вопрос, на который потребовался ответ: остаётся ли хоть что-нибудь? Существуют ли собственные частоты, сколько их, как они расположены, можно ли по-прежнему раскладывать произвольное начальное отклонение в ряд?

Уравнение

Штурм и Лиувилль изучают задачу

$$-\frac{d}{dx}\!\left(p(x)\,\frac{du}{dx}\right)+q(x)\,u=\lambda\,w(x)\,u,\qquad a\leqslant x\leqslant b,$$

с условиями на концах — например, $u(a)=u(b)=0$ для закреплённой струны.

Обозначение	Физический смысл
$p(x)>0$	жёсткость, натяжение, теплопроводность
$q(x)$	упругое основание, потенциал
$w(x)>0$	плотность, теплоёмкость — вес
$\lambda$	квадрат частоты, энергия — параметр

Ключевое: $\lambda$ входит в уравнение как неизвестное число. При случайном $\lambda$ решение, вышедшее из левого конца нулём, приходит в правый конец не нулём — краевое условие не выполняется. Уравнение разрешимо не при всех $\lambda$, а лишь при избранных. Их называют собственными значениями, а отвечающие им решения — собственными функциями.

Ход, изменивший всё: не решать

Восемнадцатый век на этом бы остановился: нет формулы — нет и разговора. Штурм делает противоположное — выводит свойства решений из самого уравнения, не имея решений. Это первая в истории качественная теория дифференциальных уравнений, и она оказалась сильнее любой формулы.

Доказанное в 1836–1837 годах:

собственные значения вещественны и просты, их бесконечно много, и они уходят на бесконечность: $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\dots\to+\infty$;
осцилляционная теорема: $n$-я собственная функция имеет ровно $n-1$ нуль внутри отрезка;
нули соседних собственных функций чередуются;
теорема сравнения: увеличили $q$ или уменьшили $w$ — все частоты выросли.

Осцилляционную теорему стоит перевести на язык физики: у любой струны, как бы хитро ни менялась её толщина, $n$-й обертон имеет ровно $n-1$ узел. Картинка, которую школьник рисует для однородной струны, верна всегда — а формулы для частот при этом не существует.

Ортогональность в три строки

Второй результат — тот, ради которого всё затевалось. Пусть $u_{m}$ и $u_{n}$ отвечают разным $\lambda_{m}\ne\lambda_{n}$. Умножим уравнение для $u_{n}$ на $u_{m}$, уравнение для $u_{m}$ на $u_{n}$, вычтем и проинтегрируем. Слева остаётся полная производная, и всё сворачивается:

$$(\lambda_{m}-\lambda_{n})\int_{a}^{b}u_{m}u_{n}\,w\,dx=\Big[\,p\,(u_{m}u_{n}'-u_{n}u_{m}')\,\Big]_{a}^{b}=0,$$

потому что на концах обе функции обращаются в нуль. Значит,

$$\boxed{\;\int_{a}^{b}u_{m}(x)\,u_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad\text{при } m\ne n.\;}$$

Собственные функции ортогональны — но не в обычном смысле, а с весом $w$. И тогда коэффициенты разложения находятся ровно так же, как коэффициенты Фурье:

$$f(x)=\sum_{n\geqslant1}c_{n}u_{n}(x),\qquad c_{n}=\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}f\,u_{n}\,w\,dx}{\displaystyle\int_{a}^{b}u_{n}^{2}\,w\,dx}.$$

Ряд Фурье оказывается частным случаем — тем, где $p=w=1$, $q=0$ и собственные функции случайно выражаются синусами. Многочлены Лежандра — другим: там $p=1-x^{2}$, а ортогональность, которую полвека считали удачным совпадением, оказывается следствием той же трёхстрочной выкладки.

Почему это «спектр»

Сравним с линейной алгеброй. Симметричная матрица имеет вещественные собственные числа и ортогональный базис из собственных векторов. Здесь то же самое — но вместо матрицы дифференциальный оператор

$$L\,u=-\big(p\,u'\big)'+q\,u,$$

а роль симметричности играет то самое интегрирование по частям, которое обнулило скобку. Задача Штурма — Лиувилля есть спектральная теория одного оператора — за семьдесят лет до того, как появились операторы.

Слово «спектр» в этом смысле введёт Гильберт около 1904 года, работая с интегральными уравнениями и не думая ни о какой физике. Ещё через двадцать лет выяснится, что спектры операторов — это буквально спектры атомов.

Одного Штурм и Лиувилль не доказали: полноты. Что ряд по собственным функциям действительно сходится к $f$, они считали очевидным. Строгое доказательство пришло только на рубеже веков — у нас его дал В. А. Стеклов, — а окончательную форму получило лишь после интеграла Лебега и теоремы Рисса — Фишера: полнота системы собственных функций есть утверждение о полноте пространства $L^{2}$ с весом.

Вторая задача, которую классический анализ не переварил

Рядом стоит история того же рода. Риман в диссертации 1851 года свободно пользуется принципом Дирихле: функционал энергии

$$D[u]=\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx$$

ограничен снизу, значит, минимум достигается. Вейерштрасс в 1870 году предъявляет Берлинской академии контрпример: функционал, у которого точная нижняя грань есть, а минимума нет.

Удар был тяжёлым — рушились доказательства Римана. Он же оказался и диагнозом: множества функций устроены сложнее множеств чисел, и переносить на них теорему о достижении минимума нельзя. Реабилитировал принцип Гильберт в 1900–1904 годах; из этой реабилитации выросли прямые методы вариационного исчисления, а из них — пространства Соболева.

Итого классический анализ поставил три задачи и не смог решить ни одной своими средствами: колебания неоднородной среды, минимизация функционалов и интегральные уравнения. Все три требовали одного — смотреть не на функцию, а на пространство функций.

Двое в Париже

Жак Шарль Франсуа Штурм (1803–1855) — женевец, попавший в Париж домашним учителем. За десять лет до этого мемуара он вместе с Даниэлем Колладоном поставил знаменитый опыт на Женевском озере: удар в подводный колокол на одном берегу, вспышка пороха в тот же миг — и замер задержки на другом берегу. Скорость звука в воде вышла около 1435 м/с, с ошибкой меньше процента. Школьникам Штурм известен по другому поводу: его теорема (1829) считает число корней многочлена на отрезке, тоже не находя ни одного.

Жозеф Лиувилль (1809–1882) в 1836 году основал «Journal de Mathématiques Pures et Appliquées» — журнал, выходящий до сих пор, — и в первом же томе напечатал работы Штурма и свои. Его имя носят теорема об ограниченной целой функции, теорема о сохранении фазового объёма в механике и первые построенные трансцендентные числа.

Следующая точка: Пиза, 1887 — Вольтерра решается считать функцию не объектом, а точкой, и определяет производную по функции.