Гильберт: бесконечномерное пространство и спектр

Задача

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\,\varphi(y)\,dy.$$

Такие уравнения возникали в теории потенциала, в задачах о колебаниях, в теории упругости. Ивар Фредгольм (1900–1903) построил их теорию, действуя по аналогии с системами линейных уравнений: он рассматривал интеграл как предел конечных сумм и переносил на предел формулы Крамера.

Давид Гильберт (1862–1943), прочитав ФредгольмаЭрик Ивар Фредгольмшведский математик · 1866–1927Показал, что интегральное уравнение ведёт себя как система линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных, — и линейная алгебра пережила переход в бесконечную размерность., за шесть лет написал шесть больших работ, сведённых в 1912 году в книгу «Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen».

Ключевой ход: перейти к коэффициентам

Гильберт замечает: если зафиксировать полную ортонормированную систему $\{e_{n}\}$, то функция $\varphi$ полностью определяется набором коэффициентов

$$c_{n} = \langle\varphi, e_{n}\rangle = \int \varphi(x)\,\overline{e_{n}(x)}\,dx.$$

Значит, задачу о функциях можно переписать как задачу о последовательностях. Интегральное уравнение превращается в бесконечную систему линейных уравнений

$$c_{n} = f_{n} + \lambda\sum_{m=1}^{\infty}k_{nm}c_{m}.$$

Какие последовательности допустимы? Из неравенства Бесселя следует $\sum|c_{n}|^{2}<\infty$. Так возникает

$$\ell^{2} = \left\{(c_{n}) : \sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2}<\infty\right\}$$

— пространство, которое Гильберт исследует систематически: скалярное произведение $\langle c,d\rangle=\sum c_{n}\overline{d_{n}}$, норма, ортогональность, полнота.

Это первое бесконечномерное пространство, изученное как геометрический объект. Гильберт говорил о нём именно геометрически: «расстояние», «угол», «проекция» — понятия, перенесённые из евклидова пространства на бесконечную размерность.

Название «гильбертово пространство» ввёл фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. в 1929 году; сам Гильберт, услышав его, по известному анекдоту спросил, что же это такое.

Спектральная теорема

Главный результат.

Конечномерный прообраз. Симметричная матрица $A$ имеет ортонормированный базис из собственных векторов, и в нём $A$ диагональна:

$$A = \sum_{k} \lambda_{k}\,P_{k},$$

где $P_k$ — проекторы на собственные подпространства.

Гильберт обобщает это на бесконечномерный случай — сперва для вполне непрерывных (компактных) операторов, где всё почти как в конечной размерности:

Компактный самосопряжённый оператор $A$ имеет ортонормированный базис из собственных векторов; собственные значения вещественны и стремятся к нулю:
$$A\varphi = \sum_{k}\lambda_{k}\langle\varphi,e_{k}\rangle e_{k}, \qquad \lambda_{k}\to0.$$

Дальше сложнее. Для несамосопряжённых или некомпактных операторов собственных векторов может не быть вовсе. Простейший пример: оператор умножения $(A\varphi)(x)=x\varphi(x)$ на $L^{2}[0,1]$. Уравнение $x\varphi(x)=\lambda\varphi(x)$ требует, чтобы $\varphi$ была сосредоточена в одной точке, — а такая функция равна нулю как элемент $L^2$. Собственных векторов нет ни одного, хотя оператор безупречно самосопряжён.

Гильберт вводит понятие спектра, более широкое, чем множество собственных значений: $\lambda$ принадлежит спектру, если оператор $A-\lambda I$ не имеет ограниченного обратного. Различаются точечный, непрерывный и остаточный спектр. Для оператора умножения спектр — весь отрезок $[0,1]$, и он сплошной.

Разложение принимает интегральную форму:

$$A = \int_{\sigma(A)}\lambda\,dE_{\lambda},$$

где $E_\lambda$ — «спектральное семейство» проекторов. Общий случай для неограниченных самосопряжённых операторов завершил фон Нейман (1929–32).

Квантовая механика

История, которую стоит рассказать целиком, потому что она о том, как чистая математика оказывается заготовленной впрок.

В 1925–26 годах возникают две теории атома:

• матричная механика Гейзенберга, Борна и Йордана — наблюдаемые суть бесконечные матрицы, действующие на последовательности;
• волновая механика Шрёдингера — состояния суть функции, наблюдаемые суть дифференциальные операторы.

Теории выглядели совершенно разными и давали одинаковые ответы, что казалось загадкой.

Фон Нейман (1927–1932) объяснил: обе суть представления одной и той же структуры. Матричная работает в $\ell^{2}$, волновая — в $L^{2}$, а эти пространства изоморфны (теорема РиссаФридьеш Риссвенгерский математик · 1880–1956Построил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. — ФишераРональд Фишеранглийский статистик и генетик · 1890–1962Придумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции., следующая точка!). Состояние — вектор единичной нормы в гильбертовом пространстве, наблюдаемая — самосопряжённый оператор, возможные результаты измерения — спектр этого оператора, вероятности — квадраты модулей коэффициентов разложения по собственному базису.

Дискретность энергетических уровней атома есть дискретность точечного спектра. Слово «спектр» Гильберт ввёл около 1904 года по совершенно другому поводу, задолго до того, как выяснилось, что оно описывает спектральные линии в буквальном, физическом смысле. Совпадение поразительное; Гильберт, по свидетельству ВейляГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения., сам ему удивлялся.

Формализация фон Неймана — «Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik» (1932).

Гёттинген

Стоит сказать и о месте. При Гильберте и КлейнеФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. Гёттинген стал математической столицей мира: Минковский, Каратеодори, Курант, Вейль, НётерЭмми Нётернемецкий математик · 1882–1935Изменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними., АртинЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор., ЦермелоЭрнст Цермелонемецкий математик и логик · 1871–1953Доказательством на одну страницу вызвал самый громкий скандал в основаниях математики за век — и, отбиваясь от критиков, выписал теорию множеств списком аксиом. На этом списке математика стоит по сей день.; из физиков — Борн, Франк, Гейзенберг, Йордан. Сюда ехали учиться из Америки, России, Японии.

Всё кончилось в 1933 году: закон о восстановлении профессионального чиновничества привёл к увольнению еврейских преподавателей. Разъехались или погибли почти все. Известен обмен репликами: на приёме министр Руст спросил Гильберта, правда ли, что институт пострадал от удаления евреев, — и получил ответ, что институт больше не существует.