Фредгольм: линейная алгебра переживает переход к бесконечности

Задача, из которой всё выросло

Задача Дирихле: найти функцию, гармоническую внутри области, с заданными значениями на границе. Физически — распределение температуры в теле, если известна температура на поверхности; или потенциал внутри области по потенциалу на её краю.

Риман доказывал существование решения принципом Дирихле — и Вейерштрасс этот принцип обрушил. Полвека задача оставалась без общего решения. Обходной путь предлагала теория потенциала: искать ответ в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью $\mu$ на границе. Тогда краевое условие превращается в уравнение относительно $\mu$ — но уравнение, где неизвестная функция стоит и снаружи, и под интегралом. Карл Нейман умел решать такое итерациями, но только для выпуклых областей; Пуанкаре продвинулся дальше, общего ответа не получив.

В 1900 году Ивар Фредгольм публикует в отчётах Шведской академии заметку на несколько страниц, где задача Дирихле решается в общем виде. Через три года выходит полная теория — «Sur une classe d'équations fonctionnelles» в «Acta Mathematica».

Ход: не бояться бесконечности

Рассматривается уравнение (сегодня его называют уравнением Фредгольма второго рода):

$$\varphi(x)-\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\,\varphi(y)\,dy=f(x).$$

Фредгольм делает то, что до него считали не более чем эвристикой: разбивает отрезок на $n$ частей длины $h$ и пишет обычную систему

$$\varphi_{i}-\lambda h\sum_{j=1}^{n}K_{ij}\,\varphi_{j}=f_{i},\qquad K_{ij}=K(x_{i},x_{j}),$$

то есть $(I-\lambda h K)\varphi=f$ — систему $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными. Её решают формулы Крамера. Дальше $n\to\infty$ — и надо проследить, во что переходит определитель.

Конечная система	Интегральное уравнение
матрица $K_{ij}$	ядро $K(x,y)$
номер строки $i$	точка $x$ отрезка
сумма $\sum_{j}$	интеграл $\int dy$
определитель	ряд Фредгольма $D(\lambda)$
альтернатива Кронекера — Капелли	альтернатива Фредгольма

Определитель Фредгольма

Предел определителя существует и оказывается целой функцией параметра:

$$D(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\lambda)^{n}}{n!}\int_{a}^{b}\!\!\cdots\!\int_{a}^{b}\det\big[K(x_{i},x_{j})\big]_{i,j=1}^{n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.$$

Ряд сходится при любом $\lambda$ — это проверяется оценкой Адамара для определителей. Значит, у $D$ есть нули, их не более чем счётное число, и они изолированы. Эти нули и есть «характеристические значения» — будущий спектр.

Альтернатива

Главный результат формулируется так же, как теорема о квадратной системе из курса линейной алгебры, — слово в слово.

Альтернатива Фредгольма. Либо $D(\lambda)\ne0$, и тогда уравнение однозначно разрешимо при любой правой части $f$.
Либо $D(\lambda)=0$, и тогда однородное уравнение имеет конечное число $m\geqslant1$ линейно независимых решений; ровно столько же имеет союзное уравнение (с ядром $K(y,x)$), а исходное разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного.

Школьный прообраз очевиден: у квадратной системы либо определитель отличен от нуля и решение единственно, либо он нулевой — и тогда есть нетривиальное ядро, а разрешимость требует условий согласования. Ни одно слово не поменялось при переходе к континууму неизвестных. Именно это и было неожиданным.

Почему сработало — и где перестаёт работать

Причина, названная по имени только через восемнадцать лет, — компактность. Интегральный оператор с приличным ядром переводит ограниченные множества в предкомпактные, а потому ведёт себя почти как конечномерный. Общую теорию построил Фридьеш Рисс (1918): альтернатива верна для оператора вида «тождественный минус компактный» — и по существу только для него.

Отсюда два важных ограничения, каждое из которых даст свою точку на этой линии.

Некомпактный оператор — другая теория. У сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши альтернатива неверна: число решений и число условий разрешимости не совпадают, а их разность — целое число, индекс.

Уравнение первого рода — беда. Если неизвестная стоит только под интегралом,

$$\int_{a}^{b}K(x,y)\,\varphi(y)\,dy=f(x),$$

то никакой альтернативы нет, обратный оператор неограничен, и задача некорректна по Адамару. Уравнение выглядит проще, а ведёт себя несравненно хуже — и именно оно возникает во всех обратных задачах.

Что было дальше

Зимой 1900/01 года о работе Фредгольма рассказали на семинаре в Гёттингене — доклад делал швед Эрик Хольмгрен. Гильберт отложил всё, чем занимался, и следующие шесть лет писал об интегральных уравнениях: шесть мемуаров 1904–1910 годов, из которых выросли пространство $\ell^{2}$, ортогональные разложения и спектральная теорема. Дисциплина, которой посвящена эта линия, началась с двенадцатистраничной заметки.

Человек

Ивар Фредгольм (1866–1927) — стокгольмец, начинавший как инженер: год в Королевском технологическом институте, и лишь потом Уппсала и математика у Миттаг-Леффлера. Инженерная выучка видна в его работах: он всегда доводит дело до величины, которую можно вычислить.

Профессором математической физики в Стокгольме он стал в 1906 году и много лет совмещал кафедру со службой актуария в страховом обществе. Публиковал он поразительно мало — за всю жизнь около двух десятков работ, и почти ничего после 1909 года. Одной заметки хватило, чтобы перестроить целый раздел математики.

Следующая точка: Гёттинген, 1904 — Гильберт превращает интегральное уравнение в геометрию бесконечномерного пространства.