Карта → событие
Мусхелишвили: комплексные методы в теории упругости
Задача, которую ставит жизнь
В листе металла просверлили отверстие и растянули лист. Напряжение около отверстия больше, чем вдали от него, — и вопрос «во сколько раз» стоит человеческих жизней.
Ответы известны и поразительно просты:
| Отверстие | Во сколько раз растёт напряжение |
|---|---|
| круглое | ровно 3 (Кирш, 1898) |
| эллиптическое с полуосями $a$ поперёк и $b$ вдоль | $1+2a/b$ (Инглис, 1913) |
| острая трещина ($b\to0$) | бесконечность |
Третья строка — причина того, что иллюминаторы самолётов круглые. У первого реактивного лайнера, британской «Кометы», окна были прямоугольными со слабо скруглёнными углами; в 1954 году две машины разрушились в воздухе, и расследование показало усталостные трещины, пошедшие от углов вырезов в обшивке.
Чтобы считать такие вещи для произвольного контура — не круга и не эллипса, — нужна общая теория. Её и построил Мусхелишвили.
Приём: две аналитические функции вместо трёх напряжений
Плоская задача теории упругости сводится к бигармоническому уравнению для функции напряжений Эри:
$$\Delta\Delta U=0.$$
По теореме Гурса всякая бигармоническая функция представима через две аналитические функции комплексного переменного:
$$U=\operatorname{Re}\big[\bar z\,\varphi(z)+\chi(z)\big].$$
Отсюда формулы Колосова — Мусхелишвили, выражающие все напряжения через $\varphi$ и $\psi=\chi'$:
$$\sigma_{xx}+\sigma_{yy}=4\operatorname{Re}\varphi'(z),$$
$$\sigma_{yy}-\sigma_{xx}+2i\sigma_{xy}=2\big[\bar z\,\varphi''(z)+\psi'(z)\big].$$
Что произошло. Задача о трёх функциях двух вещественных переменных, связанных уравнениями в частных производных, превратилась в задачу о двух аналитических функциях — а про них известно всё. Первым этот ход сделал Г. В. Колосов в диссертации 1909 года; Мусхелишвили превратил находку в метод.
Дальше работает конформное отображение: область с отверстием сложной формы отображается на круг, задача решается в круге и переносится обратно. Инженер получает формулу, а не сетку.
Краевая задача РиманаБернхард РиманПрожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. — ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.
Условия на границе тела превращаются в такую задачу: найти функцию, аналитическую внутри контура ($\Phi^{+}$) и вне его ($\Phi^{-}$), у которых предельные значения на самом контуре связаны заданным соотношением
$$\Phi^{+}(t)=G(t)\,\Phi^{-}(t)+g(t).$$
Разрешимость определяется одним целым числом — индексом
$$\varkappa=\frac{1}{2\pi}\Big[\arg G(t)\Big]_{\Gamma},$$
то есть числом оборотов, которое делает вектор $G(t)$, пока точка обходит контур. Индекс — топологическая величина: он не меняется при непрерывной деформации данных. Число решений и число условий разрешимости выражаются через него.
Сингулярные интегральные уравнения и теоремы Нётера
Технически всё сводится к уравнениям вида
$$a(t)\,\varphi(t)+\frac{b(t)}{\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\varphi(\tau)}{\tau-t}\,d\tau=f(t),$$
где интеграл понимается в смысле главного значения: подынтегральная функция обращается в бесконечность в точке $\tau=t$, и интеграл существует лишь за счёт взаимного уничтожения слева и справа от особенности. Оператор при этом не компактен, и альтернатива ФредгольмаЭрик Ивар ФредгольмПоказал, что интегральное уравнение ведёт себя как система линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных, — и линейная алгебра пережила переход в бесконечную размерность. для него неверна.
Верно другое. Фриц Нётер в 1921 году доказал: у такого оператора конечны и число решений однородного уравнения, и число условий разрешимости, а их разность равна индексу:
$$\dim\ker A-\operatorname{codim}\operatorname{im}A=\varkappa.$$
Это первое появление индекса оператора в анализе — за сорок лет до теоремы Атьи — Зингера, где та же величина свяжет аналитику с топологией на многообразиях.
Фриц Нётер — младший брат Эмми Нётер. В 1934 году, изгнанный из Германии, он получил кафедру в Томске; в 1937-м был арестован, в 1941-м расстрелян в Орле. Реабилитирован в 1988 году.
Книга и школа
«Некоторые основные задачи математической теории упругости» (Тбилиси, 1933) — тот редкий труд, который одновременно является математической монографией и инженерным справочником. Английский перевод 1953 года переиздаётся до сих пор, а вторая книга Мусхелишвили, «Сингулярные интегральные уравнения» (1946), стала для этой техники тем же, чем учебник Фихтенгольца для анализа.
Вокруг выросла школа. Математический институт в Тбилиси (носящий имя Андрея Размадзе, основателя грузинской математики), Академия наук Грузии, созданная в 1941 году и возглавлявшаяся Мусхелишвили более тридцати лет, ученики — прежде всего И. Н. Векуа с его теорией обобщённых аналитических функций. Первая математическая школа Закавказья возникла из инженерной задачи о концентрации напряжений.
Зачем это сегодня
Из тех же формул выросла механика разрушения. Напряжение у вершины трещины длиной $2a$ растёт как $1/\sqrt{r}$, и вся информация о теле сидит в одном числе — коэффициенте интенсивности напряжений
$$K_{\mathrm{I}}=\sigma\sqrt{\pi a}.$$
Трещина растёт, когда $K_{\mathrm{I}}$ превышает материальную константу. На этом критерии стоят нормы проектирования самолётов, корпусов реакторов, трубопроводов и плотин; сингулярные элементы в пакетах конечных элементов строятся ровно по асимптотике Мусхелишвили.
Следующая точка: Москва — ГельфандИзраиль Моисеевич ГельфандНе окончил школы и университета, стал одним из главных математиков века и полвека вёл семинар, который для Москвы был отдельным учебным заведением. определяет спектр, не упоминая ни операторов, ни пространства, в котором они действуют.