Конечные элементы: расчёт того, для чего нет уравнения

Крыло

Инженеру в авиационной фирме нужно знать, как прогнётся крыло под нагрузкой. Задача сформулирована точно: есть уравнения теории упругости, есть форма конструкции, есть силы.

И ничего с этим сделать нельзя.

Уравнения упругости решаются в замкнутом виде для балки, для пластины, для цилиндра — для тел простой правильной формы. Реальное крыло — набор лонжеронов, нервюр, обшивки разной толщины, вырезов под шасси и стыков разной жёсткости. Для такого тела не существует формулы, и дело не в недостатке усердия: область слишком сложной формы, чтобы решение выражалось аналитически.

До 1950-х такие вещи считали приближёнными инженерными формулами с запасом прочности — то есть, по существу, угадывали, а разницу компенсировали лишним металлом.

Разбить на простое

В 1956 году в «Journal of the Aeronautical Sciences» выходит статья четырёх авторов — Тёрнер из компании «Боинг», Клаф, Мартин и Топп, — где предложен приём, ставший затем универсальным.

Конструкцию разрезают на множество мелких кусков простой формы — треугольников, четырёхугольников, тетраэдров. Для отдельного куска задача решается элементарно: он мал, деформация внутри него принимается простейшей, и зависимость «сила — перемещение» выписывается матрицей жёсткости в несколько строк. Затем куски сшивают по общим узлам: перемещения соседей в общем узле совпадают, силы уравновешиваются.

Получается система линейных уравнений — с десятками тысяч неизвестных, но разреженная: каждый узел связан только с соседями. Такую систему машина решает.

Термин «конечный элемент» ввёл Клаф в 1960 году.

Кто был раньше

Как обычно в этой линии, был.

Рихард Курант в 1943 году напечатал работу, где для задачи о кручении разбивал область на треугольники и искал приближённое решение вариационным методом среди кусочно-линейных функций. Это и есть метод конечных элементов, изложенный математически, — за тринадцать лет до Боинга и без всякой связи с ним. Работу заметили не сразу: считать по ней было нечем.

Параллельно и независимо к тому же пришёл Джон Аргирис в Штутгарте, работавший над теми же авиационными конструкциями.

Порядок событий здесь обратный

Обычно математика идёт впереди, а приложения догоняют. Здесь наоборот, и это стоит проговорить.

Метод придумали инженеры, потому что им было нужно строить самолёты. Работал он хорошо, но почему он работает — при каких условиях приближение сходится к точному решению, с какой скоростью, что будет при измельчении сетки — оставалось невыясненным лет пятнадцать. Математическую теорию подвели в конце 1960-х и в начале 1970-х, и книга Стрэнга и Фикса 1973 года подытожила: да, метод законен, вот теоремы сходимости, вот оценки погрешности.

Для нашей линии здесь важен итог. С методом конечных элементов вычисление окончательно перестало быть вспомогательным занятием при теории. Есть задачи — а к 1970-м их большинство в инженерном деле, — где численный расчёт является единственной формой ответа, и никакого другого ответа не будет никогда. Всё, что вокруг вас сделано после 1970-го — самолёт, мост, кузов автомобиля, коленчатый вал, — рассчитано этим способом.

Следующая точка: Москва — где умножение подешевело во второй раз.