Эмми Нётер: «Idealtheorie» и стиль структур

Работа

Emmy Noether, «Idealtheorie in Ringbereichen», Mathematische Annalen 83 (1921), с. 24–66.

Нётер берёт то, что у ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. было техническим приёмом (теорема о базисе), и делает аксиомой.

Условие обрыва возрастающих цепей (ACC). Всякая цепочка идеалов

$$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq\cdots$$

стабилизируется: найдётся $N$ с $I_{N}=I_{N+1}=\cdots$

Эквивалентные формулировки (доказательство эквивалентности — хорошее упражнение):

1. Всякий идеал конечно порождён.
2. Всякое непустое семейство идеалов имеет максимальный элемент.
3. ACC.

Кольца с этим свойством называются нётеровыми. Примеры: любое поле; $\mathbb{Z}$; кольцо многочленов над нётеровым кольцом (теорема Гильберта); кольцо целых алгебраических чисел; фактор-кольцо нётерова. Не нётерово: кольцо многочленов от бесконечного числа переменных.

Главный результат: разложение примарное

Теорема Ласкера — Нётер. В нётеровом кольце всякий идеал представим как пересечение конечного числа примарных идеалов, причём это представление, приведённое к несократимому виду, обладает свойствами единственности.

(«Примарный» — обобщение степени простого числа: если $ab\in Q$ и $a\notin Q$, то $b^{n}\in Q$ для некоторого $n$.)

Что это такое по смыслу. Это обобщение основной теоремы арифметики. Для $\mathbb{Z}$: разложение $n=\prod p_i^{k_i}$ на языке идеалов есть $(n)=\bigcap (p_i^{k_i})$. Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что аналог верен в любом нётеровом кольце.

Историческая деталь. Первым это доказал (для колец многочленов) Эмануэль Ласкер в 1905 году — тот самый Эмануэль Ласкер, чемпион мира по шахматам с 1894 по 1921 год, ученик Гильберта. Его доказательство было длинным и вычислительным, на несколько десятков страниц.

Нётер доказала то же самое в общем случае, короче и из одной аксиомы. Её доказательство не зависит от того, что кольцо состоит из многочленов, — только от ACC. Это идеальная иллюстрация её метода: убрать всё лишнее и посмотреть, что осталось необходимым.

Стиль

Здесь главное, и это стоит сформулировать отчётливо.

Её девиз, известный по воспоминаниям учеников:

«Es steht alles schon bei Dedekind» — «Всё уже есть у ДедекиндаРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге.».

И описание метода:

«begrifflich, nicht rechnerisch» — понятийно, а не вычислительно.

Что это означает на практике. Классический алгебраист XIX века, столкнувшись с задачей, выписывал координаты, коэффициенты и решал систему. Нётер спрашивала: какие свойства объекта на самом деле используются? — и доказывала утверждение, исходя только из них.

Пример, доступный школьнику. Сравните два доказательства того, что у группы единственный нейтральный элемент.

Вычислительное: перебираем случаи, смотрим на таблицу умножения…

Структурное: пусть $e$ и $f$ — два нейтральных. Тогда $e = ef$ (поскольку $f$ нейтрален) и $ef = f$ (поскольку $e$ нейтрален). Значит $e=f$. $\blacksquare$

Две строки, и в них использованы только аксиомы. Никаких элементов, никаких координат.

Весь современный курс алгебры написан так — и это заслуга Нётер и её школы.

Теоремы о гомоморфизмах (первая, вторая, третья теоремы об изоморфизме), которые студент учит на первом курсе, — её формулировки. Идея «изучать объект через гомоморфизмы, а не через внутреннее устройство» — её.

Ей же принадлежит переформулировка, породившая целую науку: она заметила, что числа БеттиЭнрико Беттиитальянский математик · 1823–1892Ввёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии. в топологии — это ранги абелевых групп, а не просто числа. Отсюда группы гомологий и вся алгебраическая топология. АлександровПавел Сергеевич Александровсоветский математик · 1896–1982Создал московскую топологическую школу и вместе с Урысоном — теорию компактных пространств; ввёл в обиход гомологические группы, услышав идею от Эмми Нётер. и ХопфХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор., слушавшие её в Гёттингене, вспоминали, что это замечание перевернуло их предмет.

Теорема Нётер в физике

Отдельно стоит сказать, потому что для широкой публики она известна прежде всего этим, и это другая её теорема.

Теорема Нётер (1918, «Invariante Variationsprobleme»). Всякой непрерывной симметрии физической системы отвечает закон сохранения.

Симметрия	Закон сохранения
сдвиг по времени	энергия
сдвиг в пространстве	импульс
поворот	момент импульса
фазовая симметрия волновой функции	электрический заряд

Работа была написана по просьбе Гильберта и КлейнаФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики., бившихся над вопросом о сохранении энергии в общей теории относительности (там, как выяснилось, локального закона сохранения энергии в обычном смысле нет — это и объясняет теорема Нётер: соответствующая симметрия является калибровочной).

ЭйнштейнАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет., прочитав, написал Гильберту, что работа выполнена с проникновением в предмет, которому можно позавидовать.

Теорема Нётер — один из фундаментальных принципов теоретической физики. Она объясняет, откуда вообще берутся законы сохранения, и в современной формулировке лежит в основании квантовой теории поля.

Цена

Здесь стоит быть точным, не смягчая.

Амалия Эмми Нётер (1882–1935), дочь математика Макса Нётера из Эрлангена.

Образование. Женщины в Германии не имели права поступать в университет. В 1900–1902 годах Нётер посещала лекции в Эрлангене вольнослушательницей с разрешения каждого профессора отдельно. Правила изменились в 1904-м; докторскую степень она получила в 1907 году под руководством ГорданаПауль Горданнемецкий математик · 1837–1912«Король инвариантов», двадцать лет считавший базисы вручную, — и автор возгласа «Это не математика, это теология», которым он встретил доказательство Гильберта, обошедшееся без вычислений. — того самого, из точки о теореме о базисе. Диссертация была насквозь вычислительной, в стиле учителя; впоследствии Нётер называла её «джунглями формул» и «дребеденью».

Хабилитация. В 1915 году Гильберт и Клейн пригласили её в Гёттинген. Хабилитацию (право преподавать) философский факультет отказывался предоставить: женщина не может быть приват-доцентом. На заседании Гильберт произнёс фразу, ставшую знаменитой:

«Не понимаю, почему пол кандидата является аргументом против её хабилитации. В конце концов, мы университет, а не банное заведение.»

Не помогло. Четыре года Нётер читала лекции под именем Гильберта — в расписании значилось: «Курс теории инвариантов, проф. Гильберт, при участии д-ра Э. Нётер». Хабилитацию она получила только в 1919 году, после падения империи.

Деньги. Должность оставалась почти всю карьеру неоплачиваемой. Небольшое жалованье («ausserordentlicher Professor» без штата) появилось в 1923 году. Штатным профессором она не стала никогда.

Изгнание. 13 апреля 1933 года, после принятия «Закона о восстановлении профессионального чиновничества», Нётер как еврейка была отстранена от преподавания. Из Гёттингена уехали или были изгнаны Курант, Ландау, Бернайс, ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения., Борн, Франк. Гильберт остался и через год на приёме, на вопрос министра Руста о состоянии математики в Гёттингене, ответил, что математики в Гёттингене больше нет.

Нётер уехала в США, в женский колледж Брин-Мор в Пенсильвании. Продолжала работать и читать в Принстоне. Умерла 14 апреля 1935 года от осложнений после операции по удалению опухоли, в возрасте 53 лет.

Некролог написал Эйнштейн (в «New York Times»), назвав её значительнейшим творческим математическим гением из числа появившихся с тех пор, как женщины получили доступ к высшему образованию. Речь на похоронах произнёс Герман Вейль, откровенно сказав, что она превосходила его как математика.

Итог школы: «Moderne Algebra»

Её лекции конспектировал молодой голландец Бартель Леендерт ван дер Варден (1903–1996), приехавший в Гёттинген в 1924 году. На основе её курсов и лекций АртинаЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор. он написал книгу:

«Moderne Algebra», два тома, Springer, Берлин, 1930 и 1931.

Автору 27 лет. Книга перевернула преподавание: до неё «алгебра» означала теорию уравнений и определителей; после неё — группы, кольца, поля, модули, идеалы, галуа-теорию в артиновском изложении.

По оглавлению этой книги мы до сих пор понимаем слово «алгебра». Все последующие учебники — Ленг, БурбакиНиколя Бурбакиколлективный псевдоним группы французских математиков · с 1935 годаМатематик, которого не существует: под этим именем группа французов сорок лет переписывала всю математику с самого начала — и переменила то, как она выглядит на бумаге., Кострикин, Винберг — строятся по той же схеме. Ван дер Варден честно указал в предисловии, что книга написана «по лекциям Э. Артина и Э. Нётер»; в поздних изданиях эта ссылка, к сожалению, ужалась.

Показательно и то, что уже в третьем издании (1950) слово «Moderne» из заглавия исчезло: то, что в 1930 году было современной алгеброй, стало просто алгеброй.

Следующая точка: Париж — попытка переписать всю математику.