Пауль Гордан

Фраза его вошла во все учебники истории математики, и обычно её приводят как пример косности. Стоит сказать, что Гордан был прав по существу и первым это признал.

Король инвариантов

Родился в 1837 году в Бреслау, в еврейской семье. Диссертацию защитил в 1862 году, с 1874-го и до конца — профессор в Эрлангене.

Всю жизнь он занимался теорией инвариантов — величин, не меняющихся при заменах переменных. Задача её основная: найти для данного класса форм конечный базис инвариантов, через который выражаются все прочие.

В 1868 году Гордан доказал, что для бинарных форм такой базис существует, — и доказал конструктивно: предъявил алгоритм, который его строит. Ценой были вычисления чудовищного объёма; за них его и прозвали королём инвариантов. Дальше двадцать лет он и его ученики считали базисы для отдельных случаев, всякий раз заново и всё труднее.

«Это теология»

В 1888 году двадцатишестилетний Гильберт доказал общую теорему о базисе — для любого числа переменных сразу. Доказательство занимало несколько страниц и было неконструктивным: оно показывало, что базис существует, не давая никакого способа его найти.

Гордан отозвался фразой, ставшей крылатой: «Das ist nicht Mathematik, das ist Theologie» — это не математика, это теология.

Возражение его было содержательным. Для человека, двадцать лет вычислявшего базисы, доказательство, из которого нельзя извлечь ни одного базиса, выглядело подменой предмета. Спор шёл не о логике, а о том, что считать результатом.

Гильберт ответил делом: в 1893 году он опубликовал вторую работу, где дал и конструктивный вариант — способ, позволяющий в принципе вычислить образующие. Тогда же он получил и теорему о нулях.

И Гордан признал. Ему приписывают вторую фразу, менее известную и более важную: «Я убедился, что и теология имеет свои достоинства».

Что осталось

С этого эпизода алгебра приняла доказательства чистого существования, и предмет переменился: инвариантная теория в прежнем, вычислительном виде умерла — Гильберт, по выражению современников, «убил её одной работой» — и возродилась только в 1960-х, у Мамфорда, уже на другом основании.

Самому Гордану принадлежат коэффициенты Клебша — Гордана — правило разложения произведения представлений на неприводимые, без которого не обходится ни квантовая механика углового момента, ни теория представлений вообще. Он же дал (1893) первое алгебраическое доказательство трансцендентности $e$ и $\pi$, упростив рассуждения Эрмита и Линдемана до нескольких страниц.

Его аспиранткой была Эмми Нётер — диссертация её, написанная в 1907 году под его руководством, посвящена вычислению базиса инвариантов и содержит 331 явно выписанный инвариант. Позже она называла эту работу «джунглями формул» и шла ровно в противоположную сторону — к структурам без вычислений.

Умер в Эрлангене в 1912 году.