Гильберт: теорема о нулях

Замечание о выделении

Эта точка сейчас находится внутри точки о теореме Гильберта о базисе (теорема о базисе и возглас ГорданаПауль Горданнемецкий математик · 1837–1912«Король инвариантов», двадцать лет считавший базисы вручную, — и автор возгласа «Это не математика, это теология», которым он встретил доказательство Гильберта, обошедшееся без вычислений.). Основание выделить её отдельно: теорема о базисе завершила теорию инвариантов, а теорема о нулях открыла алгебраическую геометрию. Первая — финал, вторая — начало, и сюжеты у них разные.

Если карта не терпит дробления, оставить внутри той же точки допустимо; но тогда стоит хотя бы расширить диапазон годов до 1888–1893.

Работа

Давид Гильберт, «Über die vollen Invariantensysteme», Mathematische Annalen 42 (1893).

Написана в Кёнигсберге, в том же цикле, что и теорема о базисе. Здесь же Гильберт дал конструктивный вариант доказательства 1888 года — ответ на критику Гордана.

Постановка

Между двумя мирами есть очевидное соответствие.

Мир геометрии: алгебраическое множество

$$V(S)=\left\{p\in k^{n} \;:\; f(p)=0 \text{ для всех } f\in S\right\}$$

— множество общих нулей системы многочленов.

Мир алгебры: идеал

$$I(X)=\left\{f\in k[x_{1},\ldots,x_{n}] \;:\; f(p)=0 \text{ для всех } p\in X\right\}$$

— множество многочленов, обращающихся в нуль на данном множестве точек.

Вопрос: насколько точно эти операции обратны друг другу?

Ясно, что $V$ и $I$ обращают включения, и что $I(V(J))\supseteq J$. Но равенства нет.

Простейший контрпример. Возьмём $J=(x^{2})$ в $k[x]$. Тогда $V(J)=\{0\}$, а $I(\{0\})=(x)$. Получили $(x)\supsetneq(x^{2})$: идеал «раздулся».

Причина: многочлен $x$ сам не лежит в $J$, но его квадрат лежит.

Теорема

Nullstellensatz («теорема о нулях»). Пусть $k$ алгебраически замкнуто, $J\subseteq k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ — идеал. Тогда
$$I\left(V(J)\right)=\sqrt{J},$$
где $\sqrt{J}=\left\{f : f^{m}\in J \text{ для некоторого } m\geqslant1\right\}$ — радикал идеала.

Иначе: многочлен обращается в нуль на всём множестве решений тогда и только тогда, когда некоторая его степень принадлежит идеалу.

Слабая форма (равносильная, но проще формулируется):

Система многочленов $f_1,\ldots,f_s$ не имеет общих нулей тогда и только тогда, когда существуют $g_1,\ldots,g_s$ с
$$g_{1}f_{1}+\cdots+g_{s}f_{s}=1.$$

Смысл слабой формы. «Система несовместна» ⟺ «из неё алгебраически выводится $1=0$». Это в точности критерий несовместности, аналог того, что в линейной алгебре даёт теорема КронекераЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни… — Капелли, а в логике — теорема о полноте. Не случайно эту теорему называют «алгебраическим аналогом теоремы о полноте».

Условие алгебраической замкнутости существенно

Без него теорема неверна, и это стоит показать.

Возьмём $k=\mathbb{R}$, $n=1$, $J=(x^{2}+1)$. Тогда $V(J)=\varnothing$ — вещественных корней нет. Значит, $I(V(J))=I(\varnothing)$ — всё кольцо. А $\sqrt{J}=J\ne k[x]$, поскольку $x^2+1$ неприводим.

Равенство нарушено. Вся алгебраическая геометрия работает над алгебраически замкнутыми полями именно поэтому; вещественная алгебраическая геометрия — отдельная и заметно более трудная наука.

Словарь

Итог теоремы — точное соответствие между двумя языками:

Геометрия	Алгебра
алгебраическое множество	радикальный идеал ($J=\sqrt J$)
точка	максимальный идеал
неприводимое множество	простой идеал
$X\subseteq Y$	$I(X)\supseteq I(Y)$
объединение	пересечение идеалов
пересечение	сумма идеалов
размерность	степень трансцендентности фактор-кольца

Каждое геометрическое утверждение переводится в алгебраическое и обратно. Это и есть основание алгебраической геометрии как дисциплины: можно доказывать теоремы о кривых и поверхностях, вычисляя с идеалами.

Что выросло

• Классическая алгебраическая геометрия (итальянская школа, Зарисский, ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения.) — прямое развитие словаря.
• Коммутативная алгебра как самостоятельный предмет: кольца изучаются потому, что они суть «кольца функций» на геометрических объектах.
• Схемы ГротендикаАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне. (см. точку о Гротендике) — снятие условий: любое кольцо, простые идеалы вместо максимальных, нильпотенты допускаются. Nullstellensatz становится частным случаем.
• Компьютерная алгебра: базисы Грёбнера (Бухбергер, 1965) дают алгоритм проверки принадлежности идеалу и, следовательно, алгоритмическое решение вопроса о совместности систем. Системы Singular, Macaulay2, а также решатели в системах компьютерной алгебры общего назначения основаны на этом.

Между прочим, здесь любопытная петля: Гильберт доказал существование базиса неконструктивно (возглас Гордана), а через семьдесят семь лет Бухбергер дал алгоритм его вычисления. Теология в итоге обзавелась вычислительным аппаратом.

Соседние точки: Гильберт, теорема о базисе (1888) → Nullstellensatz → Гротендик (1958).