Леопольд Кронекер

Кронекера помнят главным образом как гонителя Кантора — и это несправедливо вдвойне: и потому, что математик он был первого ряда, и потому, что его возражения оказались не косностью, а первой формулировкой позиции, которую через полвека будут отстаивать Брауэр и вся конструктивная математика.

Банкир

Родился в 1823 году в Лигнице (Силезия), в состоятельной еврейской семье. В гимназии его учителем был Куммер, тогда ещё школьный преподаватель, — он и втянул мальчика в математику; дружба и переписка продлились всю жизнь.

Диссертацию Кронекер защитил в 1845 году в Берлине у Дирихле. А потом на восемь лет исчез из науки: умерли родственники, надо было управлять семейным банковским делом и имением. Управлял он успешно — настолько, что к тридцати годам стал состоятельным человеком и мог заниматься математикой, не нуждаясь в должности.

В Берлинский университет он вернулся в 1855 году частным лицом, читал лекции без жалованья, в академию избран в 1861-м. Кафедру — ту, что освободилась после смерти Куммера, — занял только в 1883 году, шестидесяти лет.

Что он сделал

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево расширение поля рациональных чисел содержится в круговом. Это первый закон взаимности в общем виде и прямая предтеча теории полей классов Артина.

Дельта Кронекера $\delta_{ij}$, произведение Кронекера матриц, теорема Кронекера — Капелли о совместности линейной системы, теорема о плотности обмоток тора, символ Кронекера в теории чисел, «юношеская мечта Кронекера» — гипотеза об описании абелевых расширений мнимых квадратичных полей через эллиптические функции, ставшая двенадцатой проблемой Гильберта.

Спор

Позиция его была последовательной: математика имеет право говорить только о том, что можно построить за конечное число шагов из целых чисел. Определение, из которого не следует способ вычислить объект, — не определение.

Отсюда его неприятие: иррациональных чисел, определяемых сечениями Дедекинда; теории множеств Кантора; неконструктивных доказательств существования — гильбертовскую теорему о базисе он не увидел, но реакция Гордана была ровно в его духе.

С Кантором дело зашло дальше научного спора. Кронекер задерживал его публикации, отзывался о нём резко и, по-видимому, приложил руку к тому, что Кантора не позвали в Берлин, куда тот стремился всю жизнь. Кантор считал его виновником своих несчастий; современные историки оценивают долю его вины скромнее, но отрицать её не приходится.

Фразу «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих» он произнёс, по свидетельству современника, на собрании естествоиспытателей в 1886 году. Печатного источника у неё нет.

После

Умер в Берлине в 1891 году, через несколько месяцев после смерти жены. Незадолго до конца он принял христианство.

Через сорок лет его позиция вернулась в математику — уже как программа, а не как темперамент: интуиционизм Брауэра, конструктивный анализ, а в наши дни — системы проверки доказательств, где «доказать существование» и означает «предъявить программу, которая строит объект».