Эмиль Артин

Артин занимает в алгебре положение, которое трудно описать одной теоремой: он одновременно автор её главного результата и один из тех, кто задал ей нынешний вид.

Вена и Гамбург

Родился в 1898 году в Вене, вырос в Райхенберге (нынешний Либерец). Отец торговал предметами искусства, мать была оперной певицей — музыка осталась с ним на всю жизнь, он играл на клавесине и флейте и разбирался в старинной музыке профессионально.

Диссертацию защитил в Лейпциге в 1921 году, с 1923-го — в Гамбурге, где вместе с Вильгельмом Бляшке и Эрихом Хекке создал один из сильнейших математических факультетов Европы.

Взаимность

Квадратичный закон взаимности — гауссова «золотая теорема», связывающая разрешимость сравнений $x^2\equiv p \pmod q$ и $x^2 \equiv q \pmod p$. Весь XIX век математики строили обобщения на степени выше второй: кубический и биквадратичный законы Эйзенштейна и Якоби, работы Куммера и Гильберта.

Артин в 1927 году дал общий ответ. Его закон взаимности описывает, как группа Галуа абелева расширения связана с классами идеалов, — и включает все частные законы взаимности как следствия. Это центральная теорема теории полей классов.

Доказательство он получил, применив приём из работы Николая Чеботарёва о плотности, и признавался в этом прямо: доказал «с помощью трюка Чеботарёва» (mit dem Kniff von Tschebotareff). Сегодня закон взаимности Артина — отправная точка программы Ленглендса, в которой он оказывается частным, коммутативным случаем.

Ему же принадлежат L-функции Артина и гипотеза об их голоморфности, до сих пор открытая, и — совместно с Отто Шрайером — теория формально вещественных полей, из которой вышло точное описание того, когда основная теорема алгебры верна алгебраически.

Косы

Совсем другой сюжет: в 1925 году Артин определил группу кос — то, что получается, если следить не за перестановкой нитей, а за тем, как они переплелись по дороге. Образующие — элементарные перехлёсты соседних нитей, соотношения — два очевидных геометрических правила.

Предмет полвека жил в стороне, пока Вон Джонс не обнаружил те же соотношения в операторных алгебрах и не получил из них новый инвариант узлов. Косы Артина сегодня — общий язык теории узлов, квантовых групп и топологических квантовых вычислений.

«Современная алгебра»

Третья роль — педагогическая, и по влиянию она, возможно, первая. Лекции Артина в Гамбурге и курсы Эмми Нётер в Гёттингене слушал молодой ван дер Варден и написал по ним книгу «Moderne Algebra» (1930–31), указав в предисловии, что она написана «по лекциям Э. Артина и Э. Нётер».

Книга переменила предмет: алгебра из собрания приёмов решения уравнений стала наукой о структурах — группах, кольцах, полях, модулях. Так её излагают и сегодня. (В поздних изданиях ссылка на Артина и Нётер, к сожалению, исчезла.)

Ему же принадлежит понятие артинова кольца и теорема Веддербёрна — Артина о строении полупростых алгебр.

Эмиграция и возвращение

Жена Артина была еврейкой, и в 1937 году он потерял место и уехал в США: Нотр-Дам, Индиана, затем с 1946 года Принстон. Учениками его там были Серж Ленг и Джон Тейт.

В 1958 году, к общему удивлению, он вернулся в Гамбург — на ту же кафедру, с которой его уволили. Умер там в 1962 году, шестидесяти трёх лет. Его сын Майкл Артин стал крупным алгебраическим геометром и соавтором Гротендика.