Токио — Никко: гипотеза Таниямы

Симпозиум

В сентябре 1955 года в Токио и Никко прошёл международный симпозиум по алгебраической теории чисел — первая крупная научная конференция в послевоенной Японии. Участникам раздали список из 36 нерешённых задач; вопросы 12 и 13 сформулировал Ютака Танияма (1927–1958).

Формулировка была неточной и в первой редакции даже неверной в деталях; уточнил и развил её друг и соавтор Таниямы Горо Шимура. В 1967 году Андре Вейль привёл её к окончательному виду, связав уровень модулярной формы с кондуктором кривой, — отсюда название «гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля», которое в разных странах сокращали по-разному, что породило отдельный многолетний спор о наименовании.

Что связывается с чем

Эллиптическая кривая — это кривая вида

$$E:\quad y^{2}=x^{3}+ax+b$$

с рациональными $a,b$ и ненулевым дискриминантом. Ничего эллиптического в ней нет: название досталось по наследству от эллиптических интегралов, которыми считают длину дуги эллипса. Главное её свойство — на точках такой кривой естественно определяется сложение (проводим прямую через две точки, берём третью точку пересечения, отражаем), превращающее их в группу; это тот самый метод секущих Диофанта, доведённый до конца.

Теперь возьмём простое $p$ и посчитаем точки кривой над конечным полем $\mathbb{F}_p$. Положим

$$a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p).$$

Число $a_p$ мало (по теореме Хассе $|a_p|\leqslant2\sqrt p$) и содержит всю арифметическую информацию о кривой. Собрав их вместе, строят $L$-функцию кривой — аналог дзета-функции для данного объекта.

Модулярная форма — объект совсем другой природы: голоморфная функция на верхней полуплоскости, обладающая экстравагантной симметрией

$$f\!\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$$

для всех целочисленных матриц из подходящей подгруппы. У такой функции есть разложение в ряд $f(z)=\sum b_n q^{n}$, где $q=e^{2\pi i z}$.

Гипотеза модулярности. Для всякой эллиптической кривой над $\mathbb{Q}$ найдётся модулярная форма веса 2, у которой $b_p=a_p$ для всех простых $p$.

Иначе говоря: числа, полученные счётом точек на кубике, суть коэффициенты разложения в ряд некоторой функции комплексного переменного с необычной симметрией. Между этими двумя вещами нет ничего общего ни в определении, ни в способе вычисления.

Пример, который можно проверить руками. Кривая $y^{2}+y=x^{3}-x^{2}$ (кондуктор 11) отвечает форме

$$f=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{2}(1-q^{11n})^{2}=q-2q^{2}-q^{3}+2q^{4}+q^{5}+\cdots$$

Проверим для $p=5$. Считаем точки кривой над $\mathbb{F}_5$: перебирая $x=0,1,2,3,4$ и решая квадратное уравнение по $y$, получаем 5 конечных точек плюс бесконечно удалённую, итого $\#E(\mathbb{F}_5)=5$. Тогда $a_5=5+1-5=1$. А коэффициент при $q^{5}$ в произведении равен $1$. Совпало.

Именно эта проверяемость на пальцах и делает гипотезу такой поразительной: совпадение видно, а причины его не видно совсем.

Как это убило теорему ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.

Цепочка выстроилась за два года и состоит из трёх звеньев.

Герхард Фрей (Саарбрюккен, 1984). Предположим, что $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ имеет решение при $n\geqslant3$. Построим по нему кривую

$$y^{2}=x\,(x-a^{n})\,(x+b^{n}).$$

Фрей заметил, что она была бы «слишком хорошей»: её дискриминант — точная $n$-я степень, и такая кривая, по всем признакам, не может быть модулярной.

Жан-Пьер СеррЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все. (1985) свёл это к точному утверждению — «эпсилон-гипотезе» о представлениях ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью..

Кен Рибет (Беркли, 1986) доказал эпсилон-гипотезу. С этого момента:

$$\text{гипотеза модулярности (даже только для полустабильных кривых)}\ \Longrightarrow\ \text{Великая теорема Ферма}.$$

Именно об этом узнал Эндрю Уайлс — и, по собственным словам, в тот же вечер решил бросить всё остальное.

Полную гипотезу модулярности — уже для всех эллиптических кривых, а не только полустабильных — доказали в 2001 году Брёй, Конрад, Даймонд и ТейлорБрук Тейлоранглийский математик · 1685–1731Опубликовал формулу, которой сегодня раскладывают всё подряд, — не заметив, что не проверил, сходится ли ряд и к той ли функции.. Сегодня это теорема модулярности.

Танияма

Ютака Танияма покончил с собой 17 ноября 1958 года, в тридцать один год. В записке говорилось: «Ещё вчера у меня не было определённого намерения покончить с собой… но, думаю, никто не станет отрицать, что в последнее время я стал довольно усталым и физически, и умственно». Он не оставил объяснения. Через несколько недель покончила с собой его невеста, оставив записку о том, что они обещали друг другу никогда не расставаться.

Шимура позже говорил о нём: «Он был наделён особым даром совершать множество ошибок, преимущественно в правильном направлении. Я ему завидовал и пытался подражать, но обнаружил, что делать хорошие ошибки очень трудно».

Куда это ведёт дальше

Гипотеза модулярности — частный случай программы Ленглендса, сформулированной Робертом ЛенглендсомРоберт Ленглендсамерикано-канадский математик · род. 1936Написал от руки семнадцать страниц с предположением о связи теории чисел и анализа — и с оговоркой, что если это чепуха, у адресата есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой… в письме Вейлю в 1967 году: предполагаемого соответствия между представлениями групп Галуа и автоморфными формами. Она обобщает и закон взаимности Артина, и теорему модулярности, и связывает теорию чисел с теорией представлений, гармоническим анализом и математической физикой. Доказана она частями, и работа продолжается; о ней говорят как о «великой объединяющей теории математики».

Задача. Для кривой $y^{2}+y=x^{3}-x^{2}$ посчитайте $a_3$ и $a_7$ и сверьте с коэффициентами разложения $q\prod(1-q^{n})^{2}(1-q^{11n})^{2}=q-2q^{2}-q^{3}+2q^{4}+q^{5}+2q^{6}-2q^{7}+\cdots$
(Ответ: $\#E(\mathbb{F}_3)=5$, откуда $a_3=3+1-5=-1$; $\#E(\mathbb{F}_7)=10$, откуда $a_7=7+1-10=-2$. Совпадает с $-1$ и $-2$.)

Следующая точка: Кембридж — где ламповая ЭВМ породит гипотезу о величине, существование которой ещё не доказано.