Карта → событие
Диофант: первые шаги к символам
Человек, о котором ничего не известно
О Диофанте Александрийском не известно практически ничего, включая век, в котором он жил: датировки колеблются от 150 до 350 года. Опорная точка — упоминание им Гипсикла (ок. 150 до н. э.) и ссылка на него у Феона Александрийского (ок. 365), что и даёт вилку.
Единственный «биографический» источник — стихотворная эпитафия из «Палатинской антологии», задача-головоломка о его возрасте:
Шестую часть жизни он был отроком, двенадцатую — юношей, седьмую прожил до женитьбы; через пять лет родился сын, проживший половину отцовской жизни; отец пережил сына на четыре года.
$$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4 = x.$$
Приводя к общему знаменателю 84: $14x+7x+12x+42x+9\cdot84 = 84x$, откуда $75x+756=84x$, $9x=756$, $x=84$. Диофант прожил 84 года и потерял сына в 80.
К биографии эта задача, разумеется, отношения не имеет — это школьное упражнение, сочинённое позже.
Книга
Уточнение к исходной версии. «Арифметика» состояла из тринадцати книг. Шесть сохранились по-гречески; в 1968 году Фуат Сезгин обнаружил в библиотеке при мавзолее имама Резы в Мешхеде (Иран) арабский перевод ещё четырёх книг, выполненный Кустой ибн Лукой (ум. ок. 912).
Число задач: 189 в греческих книгах, ещё 101 в арабских, всего около 290. Цифра «130», стоявшая в исходной версии, занижена примерно вдвое и, по-видимому, восходит к одному популярному источнику, где речь шла лишь о части задач.
Синкопированная алгебра
Диофант делает шаг, которого не было ни в Вавилоне, ни у греческих геометров: он вводит сокращения.
| Понятие | Обозначение Диофанта | Наше |
|---|---|---|
| Неизвестное | $\varsigma$ (сигма конечная, вероятно от ἀριθμός) | $x$ |
| Квадрат неизвестного | $\Delta^{\Upsilon}$ (от δύναμις, «степень») | $x^{2}$ |
| Куб | $K^{\Upsilon}$ (от κύβος) | $x^{3}$ |
| Четвёртая степень | $\Delta^{\Upsilon}\Delta$ | $x^{4}$ |
| Единица | $\mathring{M}$ (от μονάς) | свободный член |
| Вычитание | $\pitchfork$ | $-$ |
Так, $x^{3}-2x^{2}+10x-1$ записывалось примерно как $K^{\Upsilon}\overline{\alpha}\;\varsigma\overline{\iota}\;\pitchfork\;\Delta^{\Upsilon}\overline{\beta}\;\mathring{M}\overline{\alpha}$ (числа обозначались буквами с чертой).
Чего нет. Знаков сложения (члены просто пишутся подряд) и умножения. Знака равенства (пишется слово «равно»). И, главное, нет обозначения для второго неизвестного: если в задаче их несколько, Диофант выражает все через одно и то же $\varsigma$, каждый раз изобретая подходящую подстановку. Это делает его решения виртуозными и невоспроизводимыми: каждая задача требует своего трюка.
Такое состояние называют синкопированной алгеброй — промежуточной между риторической (Вавилон, аль-Хорезмиаль-ХорезмиОт названия его книги произошло слово «алгебра», от его имени — слово «алгоритм»; больше о нём почти ничего не известно.) и символической (Виет). Она продержится тринадцать веков.
Задача II.8 и метод, который оказался важнее книги
Именно на полях этой задачи Ферма напишет своё знаменитое замечание. Но сама задача заслуживает разбора, потому что содержит метод огромной глубины.
Разложить заданный квадрат на сумму двух квадратов.
Диофант берёт число 16 и ищет $x^{2}+y^{2}=16$ в рациональных числах.
Его решение. Пусть первый квадрат равен $x^{2}$; тогда второй равен $16-x^{2}$, и надо, чтобы это тоже был квадрат. Положим второе число равным $2x-4$ (Диофант поясняет: берём произвольное кратное $x$ минус корень из 16). Тогда
$$16 - x^{2} = (2x-4)^{2} = 4x^{2}-16x+16.$$
Свободные члены сокращаются:
$$-x^{2} = 4x^{2}-16x \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2}=16x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{16}{5}.$$
Второе число: $2\cdot\frac{16}{5}-4=\frac{12}{5}$. Проверка:
$$\left(\frac{16}{5}\right)^{2}+\left(\frac{12}{5}\right)^{2} = \frac{256+144}{25} = \frac{400}{25}=16. \quad\checkmark$$
А теперь — что здесь на самом деле сделано. Уравнение $x^2+y^2=16$ задаёт окружность. Точка $(0,-4)$ на ней очевидна. Диофант проводит через неё прямую $y=2x-4$ с рациональным угловым коэффициентом и находит вторую точку пересечения. Поскольку квадратное уравнение имеет один заведомо рациональный корень, второй тоже рационален.
Это метод секущих. Меняя угловой коэффициент, получаем все рациональные точки окружности:
$$x = \frac{8k}{k^{2}+1}, \qquad y = \frac{4(k^{2}-1)}{k^{2}+1}, \qquad k\in\mathbb{Q}.$$
Тот же приём, применённый к кривым третьей степени, даёт закон сложения точек на эллиптической кривой — фундамент современной арифметической геометрии. Через прямую, проходящую через две рациональные точки кубики, находится третья; так строится групповая структура.
Диофант, разумеется, ни о чём подобном не думал. Но метод, который он применял к десяткам задач, оказался ровно тем, на котором двадцать веков спустя будет построено доказательство Великой теоремы Ферма.
Заметка на полях
В 1621 году Клод Гаспар Баше де Мезириак издаёт в Париже греческий текст с латинским переводом и комментариями. Экземпляр этого издания попадает к тулузскому советнику парламента Пьеру ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей., и около 1637 года он пишет на полях рядом с задачей II.8:
Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень выше второй на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине удивительное доказательство, но поля слишком узки, чтобы его вместить.
$$x^{n}+y^{n}=z^{n}, \qquad n\geqslant3, \qquad xyz\ne0 \quad\text{— решений в целых числах нет.}$$
Заметку обнаружил сын Ферма, издавший в 1670 году «Арифметику» с отцовскими примечаниями. Дальше — 358 лет: ЭйлерЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. ($n=3$), сам Ферма ($n=4$, методом бесконечного спуска — единственный случай, для которого его доказательство сохранилось), Софи Жермен, КуммерЭрнст КуммерОбнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть. (создавший ради этого теорию идеальных чисел — предыстория точки об идеалах Дедекинда), и наконец Эндрю УайлсЭндрю УайлсСемь лет работал в одиночку и в тайне, доказал теорему Ферма — и через два месяца после объявления обнаружил в доказательстве дыру, на закрытие которой ушёл ещё год., Принстон, 1994–95, через модулярность эллиптических кривых.
Про «удивительное доказательство» математики единодушны: его не было. Скорее всего, Ферма нашёл рассуждение, работающее для $n=4$, и в первый момент решил, что оно обобщается.
Следующая точка: Индия — нуль и отрицательные числа получают права.