Карта → событие
Вавилон: квадратные уравнения прозой
Источники
Речь идёт о старовавилонском периоде, примерно 1900–1600 годы до н. э. Основной материал — глиняные таблички из писцовых школ (эдубба), где будущих чиновников учили счёту для нужд землемерия, строительства, распределения зерна и начисления процентов.
Ключевые тексты: BM 13901 (Британский музей) — сборник из двадцати четырёх задач на квадратные уравнения; YBC 6967 (Йельская коллекция); Plimpton 322 (Колумбийский университет) — таблица из пятнадцати строк, содержащая, по преобладающему мнению, пифагоровы тройки, хотя её назначение обсуждается до сих пор.
Как выглядела задача
Здесь необходимо исправление к исходной версии текста. Пример «квадрат и десять корней равны тридцати девяти» — не вавилонский. Это каноническая задача аль-Хорезми из трактата 820 года (наша точка об аль-Хорезми), которую он разбирает как образец второго типа уравнений. Приписывать её Вавилону — распространённая ошибка, кочующая по популярным изложениям.
Настоящая вавилонская задача выглядит иначе. Вот первая задача таблички BM 13901 в дословном переводе:
Площадь и сторону моего квадрата я сложил: 0;45.
Двоеточие с точкой с запятой — современная запись шестидесятеричной дроби: $0;45 = \frac{45}{60} = \frac34$. То есть требуется решить
$$x^{2}+x = \frac34.$$
Дальше идёт рецепт, тоже дословно:
Ты положишь 1, единицу. Половину от 1 ты разломишь: 0;30. Ты умножишь 0;30 на 0;30: 0;15. Ты прибавишь 0;15 к 0;45: 1. Это квадрат от 1. Ты вычтешь 0;30, которое ты умножал, из 1: 0;30 — сторона квадрата.
Расшифруем в нашей записи. Коэффициент при $x$ равен 1; берём его половину $\frac12$; возводим в квадрат: $\frac14$; прибавляем к свободному члену: $\frac14+\frac34=1$; извлекаем корень: $1$; вычитаем $\frac12$; получаем $x=\frac12$.
$$x = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+c}\;-\;\frac{b}{2}.$$
Это в точности формула корня квадратного уравнения $x^2+bx=c$ — та самая, что в школьном учебнике, только без символов и без второго (отрицательного) корня.
Что здесь есть и чего нет
Есть алгоритм. Не решение конкретной задачи, а процедура, применимая к целому классу. Табличка BM 13901 содержит двадцать четыре задачи, решаемые по одной схеме с разными числами; это учебное пособие, а не запись отдельного открытия.
Есть системы. Типовая задача: даны сумма и произведение,
$$x+y = s, \qquad xy = p.$$
Вавилонский приём: положить $x = \frac{s}{2}+d$, $y=\frac{s}{2}-d$. Тогда
$$p = \left(\frac{s}{2}\right)^{2}-d^{2} \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{\left(\frac{s}{2}\right)^{2}-p}.$$
Через четыре тысячи лет мы будем называть это теоремой ВиетаФрансуа ВиетПервым стал обозначать буквами не только неизвестное, но и известные величины, — и с этого алгебра перестала быть собранием рецептов., читая её справа налево.
Есть кубические уравнения. Сохранились таблицы значений $n^{3}+n^{2}$, по которым уравнения вида $x^{3}+x^{2}=a$ решались подбором и интерполяцией. Общей формулы, разумеется, нет.
Нет символов. Ни знака равенства, ни буквы для неизвестного, ни знаков действий. Всё — связный текст на аккадском с использованием шумерских логограмм. Такая алгебра называется риторической, и в этом состоянии она проживёт ещё три тысячи лет.
Нет отрицательных чисел и нет нуля как числа. Поэтому у квадратного уравнения всегда один корень — положительный. И поэтому уравнения приходится классифицировать по типам: $x^2+bx=c$ и $x^2=bx+c$ для вавилонянина (как и для аль-Хорезмиаль-ХорезмиОт названия его книги произошло слово «алгебра», от его имени — слово «алгоритм»; больше о нём почти ничего не известно.) — разные задачи с разными рецептами.
Нет доказательств. Тексты не объясняют, почему рецепт работает.
Откуда рецепт: «разрежь и приложи»
Отсутствие доказательств не означает отсутствия понимания. Реконструкция, предложенная Йенсом Хёйрупом и ставшая общепринятой, показывает: за рецептами стоит геометрическая техника перекладывания фигур, а сама терминология табличек это выдаёт (в текстах фигурируют «длина», «ширина», глаголы «разломить», «приложить»).
Для $x^{2}+bx=c$: рисуем квадрат со стороной $x$ и приставляем к нему прямоугольник $b\times x$. Разрежем прямоугольник пополам вдоль и приложим две половинки $\frac b2 \times x$ к двум смежным сторонам квадрата. Получилась Г-образная фигура площади $c$. Дополним её до полного квадрата, добавив в угол квадратик со стороной $\frac b2$:
$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} = c + \left(\frac{b}{2}\right)^{2}.$$
Отсюда сразу и формула, и её название — дополнение до квадрата. Вавилонский писец не доказывал, но, судя по языку, видел ту же картинку, которую рисуют на доске сегодня.
Шестидесятеричная система
Отдельного упоминания заслуживает вычислительная база. Вавилонская позиционная система по основанию 60 была лучшим счётным инструментом древнего мира: 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, поэтому обратные к большинству употребительных чисел — конечные дроби. Существовали таблицы обратных величин, квадратов, кубов, квадратных корней.
Знаменитая табличка YBC 7289 содержит для $\sqrt2$ значение
$$1;24,51,10 = 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^{2}}+\frac{10}{60^{3}} = 1{,}41421296\ldots$$
при истинном $1{,}41421356\ldots$ — шесть верных знаков. Точность, которую Европа превзойдёт только в эпоху Возрождения.
Наследие этой системы у нас перед глазами: 60 секунд, 60 минут, 360 градусов.
Чего не было: символа для «пусто»
Позиционная запись без нуля неоднозначна: одна и та же клинописная запись могла означать $1$, $60$ или $\frac{1}{60}$ — читатель различал их по контексту. Позднее (в нововавилонский период) появился разделительный знак для пропущенного разряда внутри числа, но в конце числа его не ставили, и нуля как самостоятельного числа не существовало. Это сделает Брахмагупта, через две с половиной тысячи лет.
Задача для класса. Решите вавилонским способом (дополнением до квадрата, с чертежом): «Площадь квадрата минус его сторона равна 870». Затем: почему для вавилонянина это была задача другого типа, чем BM 13901 №1?
Следующая точка: Александрия — первый шаг от прозы к символам.