Карта → событие
Аль-Хорезми: книга, давшая имя алгебре
Место
Дом мудрости (Байт аль-хикма) в Багдаде при халифах аль-Мамуне и его преемниках — библиотека, переводческий центр и обсерватория одновременно. Сюда стекались греческие, персидские и индийские тексты; здесь переводили ЕвклидаЕвклидАвтор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего., Птолемея, АристотеляАристотельНе был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы., ДиофантаДиофант АлександрийскийПервым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года., индийские сиддханты.
Историки в последние десятилетия уточняют картину: «Дом мудрости» был, по-видимому, скорее дворцовой библиотекой, чем академией в позднейшем смысле, и переводческое движение шло шире и вне его стен. Но как узел передачи знаний между цивилизациями роль Багдада IX века не оспаривается.
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (ок. 780 — ок. 850) — родом, судя по нисбе, из Хорезма (совр. Узбекистан/Туркменистан), работал в Багдаде при аль-Мамуне.
Книга
«Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала» — «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», около 820 года.
Два слова в названии — это два преобразования уравнения:
- аль-джабр («восполнение», «вправление» — то же слово применялось к вправлению костей) — перенос вычитаемого члена в другую часть с изменением знака. Из $x^2 = 40x - 4x^2$ получаем $5x^2=40x$.
- аль-мукабала («противопоставление», «уравновешивание») — сокращение одинаковых членов в обеих частях. Из $50+x^2=29+10x$ получаем $21+x^2=10x$.
Латинская передача первого слова — algebra. Латинская передача имени автора, Algoritmi (из заголовка перевода его же книги об индийском счёте, «Algoritmi de numero Indorum»), дала слово алгоритм.
Иногда встречается утверждение, что слово «алгебра» пришло из хирургии; на деле наоборот — один арабский корень породил и математический термин, и медицинский, а в средневековой Испании вывеска algebrista обозначала костоправа.
Шесть типов
Отрицательных чисел аль-Хорезми не признаёт (в отличие от БрахмагуптыБрахмагуптаПервым в мире записал правила действий с нулём и отрицательными числами — как с законными числами, а не как с недоразумением; ошибся только в делении на нуль, и ошибку эту исправляли тысячу лет., чью арифметику он, вероятно, знал), поэтому все коэффициенты должны быть положительны. Отсюда уравнения первой и второй степени распадаются на шесть типов, каждый со своим рецептом. В его терминах: «квадраты» ($x^2$), «корни» ($x$), «простые числа» (свободный член).
| № | Тип | Современно |
|---|---|---|
| 1 | Квадраты равны корням | $ax^{2}=bx$ |
| 2 | Квадраты равны числу | $ax^{2}=c$ |
| 3 | Корни равны числу | $bx=c$ |
| 4 | Квадраты и корни равны числу | $ax^{2}+bx=c$ |
| 5 | Квадраты и число равны корням | $ax^{2}+c=bx$ |
| 6 | Корни и число равны квадратам | $bx+c=ax^{2}$ |
Мы записываем это одним уравнением $ax^2+bx+c=0$ — потому что у нас есть отрицательные числа. Классификация на шесть случаев — прямое следствие их отсутствия, и это хороший урок о том, как расширение системы чисел упрощает теорию.
Существенно, что разбор исчерпывающий: аль-Хорезми не решает подвернувшиеся задачи, как Диофант, а перечисляет все возможные виды и закрывает каждый.
Каноническая задача и её доказательство
Квадрат и десять корней равны тридцати девяти.
$$x^{2}+10x=39.$$
Это самый знаменитый пример в истории алгебры: он кочевал из учебника в учебник семьсот лет, через латинские переводы Роберта Честерского (1145) и Герарда Кремонского. Именно его в исходной версии этого текста ошибочно приписали Вавилону.
Рецепт аль-Хорезми:
Раздели пополам число корней — получишь пять. Умножь это на себя — получишь двадцать пять. Прибавь к тридцати девяти — получишь шестьдесят четыре. Извлеки корень — получишь восемь. Вычти половину числа корней, то есть пять, — останется три. Это и есть корень.
$$x = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^{2}+39}-\frac{10}{2} = \sqrt{25+39}-5 = 8-5=3.$$
Но дальше — то, чего не было в Вавилоне: геометрическое доказательство.
Аль-Хорезми рисует квадрат со стороной $x$ (площадь $x^2$). К каждой из четырёх сторон пристраивает прямоугольник размера $\frac{10}{4}\times x$ — суммарно это $10x$. Полученная крестообразная фигура имеет площадь $x^2+10x=39$. Достроим её до большого квадрата, добавив четыре угловых квадратика со стороной $\frac{10}{4}$, то есть площадью $4\cdot\left(\frac{10}{4}\right)^{2}=25$.
Большой квадрат имеет площадь $39+25=64$, значит его сторона равна 8. Но сторона большого квадрата есть $x+2\cdot\frac{10}{4}=x+5$. Отсюда $x+5=8$, то есть $x=3$. $\blacksquare$
Приводит он и второй вариант — с достройкой в один угол, как у вавилонян.
Здесь важен сам факт: аль-Хорезми не только даёт правило, но и обосновывает его. Это греческое влияние (Евклид, книга II) на восточную вычислительную традицию — и характерная черта математики исламского мира: соединение вычислительной мощи Индии с требованием доказательности из Греции.
Продолжение линии
Аль-Хорезми — начало, а не вершина. Дальше алгебра в исламском мире освобождается от геометрических подпорок:
- Абу Камиль (Египет, ок. 900) допускает иррациональные коэффициенты и решения; работает с уравнениями, сводящимися к квадратным.
- Аль-Караджи (Багдад, ок. 1000) строит арифметику степеней: $x, x^{2}, x^{3},\ldots$ и обратных $\frac1x,\frac{1}{x^2},\ldots$ как самостоятельную систему с правилами умножения и деления. Здесь же — таблица биномиальных коэффициентов $C_{n}^{k}$ и правило
$$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$$
(«треугольник Паскаля» за шесть веков до ПаскаляБлез ПаскальСобрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога.), обоснованное зачатком математической индукции. - Ас-Самавал (ок. 1150, книга «аль-Бахир», ок. 1144) выполняет деление многочленов «в столбик», оперирует отрицательными показателями, строит таблицу коэффициентов и обращается с многочленами как с числами. Он же вычисляет $\frac{1}{x^2+x}$ разложением в бесконечный ряд — на удивление далеко зашедшее рассуждение.
- Омар ХайямОмар ХайямВ Европе его знают как автора четверостиший о вине и бренности; на востоке он был прежде всего математиком, решившим кубические уравнения за пятьсот лет до итальянцев. (Исфахан, ок. 1070) — тот самый поэт — в «Трактате о доказательствах задач ал-джабра» даёт полную классификацию кубических уравнений (четырнадцать типов при положительных коэффициентах) и геометрическое решение каждого через пересечение конических сечений. Он прямо пишет, что алгебраического решения в радикалах найти не смог, и оставляет задачу потомкам. Найдут её через 450 лет в Болонье.
- Шараф ад-Дин ат-Туси (ок. 1200) исследует, при каких условиях кубическое уравнение имеет корни, — и фактически использует максимум функции и производную многочлена для анализа. Степень осознанности здесь спорна среди историков, но вычисления его однозначны.
Замечание о разрыве на карте
Стоит проговорить прямо: между аль-Хорезми (820) и КарданоДжероламо КарданоНапечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе. (1545) на линии сейчас нет ни одной точки — семьсот двадцать пять лет пустоты. Между тем в этот промежуток укладываются Хайям, ас-Самавал, ат-Туси, ФибоначчиЛеонардо ПизанскийПривёз в Европу индийские цифры, нуль и счёт пером вместо жетонов на доске; кролики из двенадцатой главы — побочная задача, прославившая его через шестьсот пятьдесят лет. («Liber abaci», Пиза, 1202, принёсший в Европу индо-арабские цифры), Иордан Неморарий, Никола Шюке, Лука ПачолиЛука ПачолиСобрал в одну книгу всю математику Возрождения, описал двойную бухгалтерию и дружил с Леонардо да Винчи — а заодно поставил задачу, ответ на которую нашли только через сто шестьдесят лет. («Summa», Венеция, 1494). См. предложения в Приложении Б.
Следующая точка: Италия — самая скандальная история в математике.