Аль-Караджи и ас-Самавал: алгебра без геометрии

Что оставалось сделать после аль-Хорезмиаль-Хорезмиперсидский математик, астроном и географ, работавший в Багдаде · около 780 — около 850От названия его книги произошло слово «алгебра», от его имени — слово «алгоритм»; больше о нём почти ничего не известно.

Алгебра аль-Хорезми была геометрической по обоснованию: правило решения квадратного уравнения доказывалось перекладыванием прямоугольников. Это давало строгость, но и налагало ограничение: степеней выше третьей не существует, потому что нет четырёхмерных фигур.

Тот же барьер будет мучить ВиетаФрансуа Виетфранцузский юрист, королевский советник и математик · 1540–1603Первым стал обозначать буквами не только неизвестное, но и известные величины, — и с этого алгебра перестала быть собранием рецептов. через шесть веков (закон однородности).

Задача: сделать алгебру самостоятельной, оперирующей символами, а не фигурами.

Аль-Караджи

Абу Бакр Мухаммад аль-Караджи (ок. 953 — ок. 1029) работал в Багдаде примерно до 1015 года, затем в «горных краях» (вероятно, в Иране), где написал трактат о гидротехнике — одну из первых книг о добыче подземных вод.

Главные математические сочинения: «аль-Фахри» и «аль-Бади».

1. Арифметика степеней. Аль-Караджи строит последовательность

$$x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4},\ \ldots \qquad\text{и}\qquad \frac{1}{x},\ \frac{1}{x^{2}},\ \frac{1}{x^{3}},\ \ldots$$

как бесконечную в обе стороны шкалу, с правилами умножения и деления. Это разрыв с геометрией: $x^{4}$ и $x^{5}$ вводятся не как объёмы, а как члены формальной последовательности.

По формулировке одного из историков (Р. Рашед), именно здесь алгебра впервые начинает изучать сами алгебраические выражения как объекты, а не как способ записи геометрических соотношений.

2. Биномиальные коэффициенты. Аль-Караджи приводит таблицу коэффициентов разложения $(a+b)^{n}$ и правило её построения:

$$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}.$$

«Треугольник Паскаля» за шесть веков до ПаскаляБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. (точка о Паскале и Ферма, где перечислены и китайские, и индийские предшественники).

3. Зачаток индукции. Обоснование формулы для суммы кубов:

$$1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\left(1+2+\cdots+n\right)^{2}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.$$

Аль-Караджи рассуждает так: утверждение верно для $n=1$; далее он показывает, как из случая $n=9$ получить случай $n=10$, — и замечает, что тем же способом можно продвигаться дальше.

Это не полная индукция в современном смысле (нет общего шага «от $n$ к $n+1$» и нет явного принципа), но структура рассуждения уже та самая. Историки называют это «регрессивной» или «квазииндукцией». Полное осознание принципа — у Паскаля (1654).

Ас-Самавал

Абу-ль-Баракат ас-Самавал аль-Магриби (ок. 1130 — ок. 1180) — сын еврейского учёного из Багдада, впоследствии принявший ислам (и написавший об этом сочинение, ставшее известным в полемической литературе). Врач по профессии.

Главный труд — «аль-Бахир фи-ль-джабр» («Блистательное в алгебре»), написанный, по его собственным словам, в девятнадцать лет, около 1144 года. В нём он излагает и развивает аль-Караджи, которого прямо называет своим предшественником.

1. Деление многочленов в столбик. Ас-Самавал строит таблицу коэффициентов (по существу — то, что мы делаем, деля уголком) и проводит деление многочлена на многочлен. Он же выполняет действия с многочленами, содержащими отрицательные степени.

2. Правила знаков формулируются явно и в общем виде:

$$(-a)(-b)=ab,\qquad (-a)b=-ab,\qquad 0-a=-a.$$

(Сравните с Брахмагуптой, — независимое переоткрытие.)

3. Деление с бесконечным остатком. Самое замечательное. Ас-Самавал делит $1$ на $2x+1$ и получает не остановившееся разложение:

$$\frac{1}{2x+1}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{4x^{2}}+\frac{1}{8x^{3}}-\frac{1}{16x^{4}}+\cdots$$

Он прямо говорит, что процесс можно продолжать неограниченно, и даёт правило для очередного члена. Это бесконечный ряд — за пятьсот лет до НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. (точка о Ньютоне) и в точности та же геометрическая прогрессия.

Он же вычисляет приближения, делит $20x^{2}+30x$ на $6x^{2}+12$ и получает разложение по убывающим степеням.

4. Определение алгебры. Ас-Самавал формулирует предмет так: производить над неизвестными те же действия, какие арифметик производит над известными. Формулировка, под которой подписался бы Виет.

Почему это стоит отдельной точки

Разрыв с геометрией — самостоятельное событие. Между аль-Хорезми, доказывающим правило чертежом, и Виетом, оперирующим буквами, лежит промежуточная стадия: символическая работа с выражениями без геометрической опоры. В исламской математике она была пройдена в X–XII веках, в Европе — только в XVI–XVII.

И это важно для честности картины. Стандартный рассказ («алгебра родилась в Багдаде, потом ничего, потом Возрождение») неверен: линия развивалась непрерывно ещё четыре столетия. То, что Европа получила от неё лишь фрагменты, — обстоятельство передачи, а не содержания.

Практическое замечание

Точку удобно объединить с ХайямомОмар Хайямперсидский математик, астроном и поэт · 1048–1131В Европе его знают как автора четверостиший о вине и бренности; на востоке он был прежде всего математиком, решившим кубические уравнения за пятьсот лет до итальянцев. в одну — «алгебра исламского мира после аль-Хорезми», с тремя привязками (Багдад, Самарканд, Багдад/Марага). Если же карта допускает частые точки, лучше оставить раздельно: сюжеты разные (у Хайяма — геометрия конических сечений, здесь — освобождение от геометрии).

Соседние точки: аль-Хорезми (820) → аль-Караджи и ас-Самавал → Хайям (1070) → Кардано.