Омар Хайям: кубические уравнения через конические сечения

Человек

Гияс ад-Дин Абу-ль-Фатх Омар ибн Ибрахим аль-Хайям Нишапури (1048–1131) в Европе известен прежде всего как автор «Рубайят» — благодаря вольному переводу Эдварда Фицджеральда (1859), сделавшему его одним из самых читаемых поэтов на английском языке.

На Востоке же он был известен как математик и астроном, а поэзия считалась побочным занятием. Атрибуция четверостиший, кстати, — отдельная проблема: рукописи расходятся, и какая часть корпуса действительно принадлежит Хайяму, науке неизвестно.

Хронология, важная для карты:

Годы	Место	Что делал
1048	Нишапур	родился
до 1070	Нишапур, Бухара	ранние работы по арифметике и музыке
ок. 1070	Самарканд	трактат об алгебре, под покровительством судьи Абу Тахира
1074–1092	Исфахан	руководит обсерваторией при Малик-шахе; календарь Джалали; комментарий к ЕвклидуЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. (1077)
после 1092	Мерв, Нишапур	опала после убийства Низам аль-Мулька

Книга

«Рисала фи-ль-барахин ала масаиль аль-джабр ва-ль-мукабала» — «Трактат о доказательствах задач алгебры», ок. 1070.

Во введении Хайям сетует на положение науки в его время: люди, называющие себя учёными, подменяют истину подделками, а те немногие, кто ищет знания, не могут посвятить ему себя из-за обстоятельств. Тон трактата — тон человека, который знает себе цену и не рассчитывает на понимание.

Классификация

У Хайяма, как у аль-Хорезми, нет отрицательных чисел, поэтому уравнения приходится классифицировать по расстановке членов. Он перечисляет:

• простых уравнений (два члена): 6 видов;
• квадратных (три члена): 6 видов;
• кубических: 14 видов, не сводящихся к квадратным.

Примеры кубических типов: $x^3=c$; $x^3+bx=c$; $x^3+c=bx$; $x^3+ax^2=c$; $x^3+ax^2+bx=c$; и так далее — всего четырнадцать сочетаний.

Это первая в истории полная классификация кубических уравнений. До Хайяма отдельные кубические задачи решали (АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., аль-Махани, Абу-ль-Джуд), но систематического разбора всех случаев не было.

Метод: пересечение конических сечений

Разберём образцовый случай — $x^{3}+bx=c$, который Хайям записывал как «куб и рёбра равны числу».

Идея. Положим $b=p^{2}$ (то есть $p=\sqrt b$), а $c = p^{2}q$ (то есть $q=c/b$). Уравнение примет вид

$$x^{3}+p^{2}x = p^{2}q.$$

Рассмотрим две кривые:

$$\text{парабола: } \quad x^{2}=py, \qquad\qquad \text{окружность: }\quad y^{2}=x(q-x).$$

Проверим, что их пересечение даёт корень. Из первого уравнения $y=x^{2}/p$. Подставим во второе:

$$\frac{x^{4}}{p^{2}} = x(q-x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{3}}{p^{2}} = q-x \quad\Longrightarrow\quad x^{3}+p^{2}x = p^{2}q. \quad\checkmark$$

Получили ровно исходное уравнение. Значит, абсцисса точки пересечения параболы и окружности и есть искомый корень.

Хайям проделывает это для каждого из четырнадцати типов, подбирая подходящую пару кривых (параболу с окружностью, две параболы, параболу с гиперболой, гиперболу с окружностью) и доказывая в каждом случае, что пересечение существует и единственно либо что случаев пересечения два.

Два корня — и это тоже впервые

Особенно ценно, что Хайям заметил и явно указал: некоторые кубические уравнения имеют два положительных корня (в его терминах — «два решения»), а некоторые не имеют ни одного.

Это соответствует случаям, когда коника и окружность пересекаются в двух точках, касаются или не пересекаются вовсе. Геометрия делает наглядным то, что алгебраически стало ясно только с дискриминантом.

Заметим для честности: три положительных корня (тот самый неприводимый случай Кардано и Бомбелли) Хайям не рассматривал, и это ограничение его метода.

Признание невозможности

Вот главное для нашей линии. Хайям пишет прямо и без обиняков:

Для этих задач мы не смогли найти решения посредством чисел; быть может, кто-нибудь из тех, кто придёт после нас, сумеет это сделать.

«Решение посредством чисел» — то есть алгебраическая формула, как для квадратных уравнений. Хайям её искал, не нашёл и честно сообщил об этом, передав задачу дальше.

Задачу решили в 1545 году — через 475 лет, в Болонье и Милане («Ars Magna»). Дель Ферро, ТартальяНикколо Тартальяитальянский математик и инженер · 1500–1557Заика с рассечённым лицом, самоучка из Брешии: выиграл главный математический поединок эпохи и проиграл спор о том, кому принадлежит формула. и КарданоДжероламо Карданоитальянский врач, математик и астролог · 1501–1576Напечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе. нашли то, чего Хайям не смог, — и заплатили за это встречей с корнями из отрицательных чисел, которых Хайям, работавший геометрически, никогда бы не увидел.

Кстати, ещё одна догадка Хайяма оказалась верной: он предполагал, что циркулем и линейкой кубическое уравнение решить нельзя. Доказано это было Ванцелем в 1837 году (отсюда же невозможность удвоения куба и трисекции угла).

Прочее у Хайяма

• Биномиальные коэффициенты. В несохранившемся трактате «Трудности арифметики» Хайям, по его собственной ссылке, изложил метод извлечения корней любой степени, опирающийся на таблицу $C_{n}^{k}$ — то есть «треугольник ПаскаляБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога.». Метод восходит к аль-Караджи (см. точку об аль-Караджи).
• Теория параллельных. «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» (Исфахан, 1077) содержат разбор пятого постулата через четырёхугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Хайям рассматривает три гипотезы об углах при вершине (острые, прямые, тупые) и отвергает две — по существу это первые шаги к неевклидовой геометрии, повторённые СаккериДжованни Саккериитальянский иезуит, логик и математик · 1667–1733Вывел десятки теорем неевклидовой геометрии, пытаясь довести её до противоречия, — и, не найдя противоречия, объявил, что нашёл. в 1733 году.
• Календарь Джалали (1079). Хайям возглавлял комиссию по реформе; получившийся календарь имеет погрешность около одной суток за 5000 лет — точнее григорианского (сутки за 3300 лет). Он лежит в основе современного иранского календаря.
• Теория отношений. Хайям обсуждал вопрос о том, следует ли считать отношение несоизмеримых величин числом, — и склонялся к положительному ответу, расширяя понятие числа на иррациональные. Для XI века это радикально.

Зачем эта точка на карте

Она закрывает начало семисотлетнего разрыва. Между аль-Хорезмиаль-Хорезмиперсидский математик, астроном и географ, работавший в Багдаде · около 780 — около 850От названия его книги произошло слово «алгебра», от его имени — слово «алгоритм»; больше о нём почти ничего не известно. (820) и Кардано (1545) линия сейчас пуста. Хайям — самое яркое, что там есть, и его сюжет идеально мостит эти две точки: он ставит задачу, которую решат через 475 лет, и прямо адресует её будущему.

И она добавляет Самарканд — единственную точку линии восточнее Багдада.

Для урока сюжет удобен вдвойне: во-первых, проверка «парабола плюс окружность даёт кубическое уравнение» занимает три строки и доступна десятикласснику; во-вторых, история про поэта, который между стихами классифицировал кубические уравнения, запоминается сама.

Соседние точки: аль-Хорезми (820) → Хайям → Кардано (1545).