Бомбелли: как обращаться с невозможным

Тупик, оставленный КарданоДжероламо Карданоитальянский врач, математик и астролог · 1501–1576Напечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе.

В точке о «Ars Magna» разобран «неприводимый случай». Кратко: для $x^{3}=15x+4$ формула Кардано даёт

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}},$$

при том что уравнение имеет три обычных вещественных корня, и один из них — $x=4$.

Кардано столкнулся с этим и отступил. Квадратные корни из отрицательных чисел он в другом месте назвал «столь же утончёнными, сколь и бесполезными», а сам случай признал неразрешимым его методом.

Человек

Рафаэль Бомбелли (1526–1572) — не университетский математик. По профессии инженер-гидравлик: он работал у епископа Алессандро Руффини на осушении болот в долине Кьяна в Тоскане, затем на восстановительных работах на мосту Санта-Мария в Риме.

Книгу он писал в перерывах между проектами. По его собственному свидетельству, значительная часть «Алгебры» написана во время вынужденного простоя, когда работы по осушению были приостановлены.

Книга

«L'Algebra», Болонья, 1572 (три книги; ещё две остались в рукописи и были изданы только в 1929 году).

Замысел был педагогический: Бомбелли считал, что после Кардано изложение алгебры остаётся невнятным, и решил написать книгу, по которой предмету можно научиться. Замысел удался: «Алгебру» читали ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». (который называл Бомбелли выдающимся мастером аналитического искусства) и ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя..

Между делом Бомбелли обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись «Арифметики» Диофанта, перевёл значительную её часть вместе с Антонио Мария Пацци и включил 143 задачи оттуда в свою книгу — за полвека до издания Баше.

Правила для «più di meno»

Бомбелли делает шаг, на который не решились ни Кардано, ни ТартальяНикколо Тартальяитальянский математик и инженер · 1500–1557Заика с рассечённым лицом, самоучка из Брешии: выиграл главный математический поединок эпохи и проиграл спор о том, кому принадлежит формула.: он вводит новый вид числа и выписывает для него правила действий.

Обозначений $i$ у него нет; вместо этого он называет $+\sqrt{-1}$ «più di meno» (буквально «плюс от минуса»), а $-\sqrt{-1}$ — «meno di meno». И приводит таблицу умножения:

По Бомбелли	Современно
più di meno via più di meno fa meno	$(+i)(+i)=-1$
più di meno via meno di meno fa più	$(+i)(-i)=+1$
meno di meno via meno di meno fa meno	$(-i)(-i)=-1$
più via più di meno fa più di meno	$(+1)(+i)=+i$
meno via più di meno fa meno di meno	$(-1)(+i)=-i$

Это первая в истории таблица действий с мнимыми числами.

Он честно оговаривается, что дело кажется скорее софистическим, чем истинным, но что он долго искал доказательство и убедился: результаты верны.

Расчёт

Теперь главное. Бомбелли предполагает, что два кубических радикала в формуле Кардано суть сопряжённые выражения вида $a\pm b\sqrt{-1}$, и подбирает $a,b$.

Возьмём $a=2$, $b=1$ и возведём в куб:

$$(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=3+4i,$$
$$(2+i)^{3}=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^{2}=6+11i-4=2+11i.$$

А $11i=\sqrt{-121}$. Значит,

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+i, \qquad \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-i.$$

Складываем:

$$x=(2+i)+(2-i)=4.$$

Мнимые части взаимно уничтожились, остался вещественный корень. $\checkmark$

Почему это перелом

Стоит сформулировать отчётливо, потому что обычно комплексные числа объясняют школьнику неверно.

Неверное объяснение: «мнимые числа придумали, чтобы решать уравнения вида $x^{2}+1=0$».

Почему неверно: для квадратного уравнения при $D<0$ достаточно было сказать «вещественных корней нет» — и все так и говорили две тысячи лет. Никакой нужды в новых числах это не создавало.

Верное объяснение: мнимые числа стали необходимы, когда выяснилось, что через них проходит единственная дорога к вещественному ответу. В неприводимом случае кубического уравнения корни вещественны, но выражение через радикалы обязано пройти через мнимую область.

И это не следствие неуклюжести формулы: Гёльдер доказал в 1891 году, что в неприводимом случае корни принципиально невыразимы через вещественные радикалы.

Иначе говоря: комплексные числа вошли в математику не как расширение ради полноты, а как вынужденный промежуточный этап вычисления. От них нельзя было отказаться, потому что без них не получался правильный ответ.

Это, между прочим, повторяющийся сюжет: отрицательные числа понадобились для бухгалтерии, нуль — для позиционной записи, а мнимые — для кубических уравнений. Каждое расширение системы чисел было вынужденным, а не изобретённым от любви к общности.

Что дальше

• ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. (1637) вводит слово «мнимые» — с уничижительным оттенком.
• ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды. (1685) предлагает первую (несовершенную) геометрическую интерпретацию.
• Эйлер (1748) выводит $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ и (1777) вводит обозначение $i$.
• Вессель (1799, датчанин, работа осталась незамеченной на сто лет), Арган (1806), ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. — комплексная плоскость.
• Гаусс вводит термин «комплексные» и своей диссертацией (основная теорема алгебры) закрепляет их фундаментальную роль.
• ГамильтонУильям Роуэн Гамильтонирландский математик, физик и астроном · 1805–1865Пятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности. (1837) даёт определение через пары вещественных чисел, окончательно устраняя мистику, — и через шесть лет идёт дальше, к кватернионам.

Триста лет от Бомбелли до полного признания.

Соседние точки: Кардано (1545) → Бомбелли → Гаусс (1799) → Гамильтон (1843).